Задача 58955 ...

60673e546244901e73676171

02.04.2021 19:24:46

Дано кут β між діагоналями розгортки бічної поверхні циліндра і дано довжину діагоналі розгортки бічної поверхні а.
Визнач площу повної поверхні циліндра.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.04.2021 21:45:44

★

Развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник.
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.

Тогда по теореме косинусов

CD^2=(a/2)^2+(a/2)^2-2*(a/2)*(a/2)*cos β =(a^2/4)*(2-cos β )

CD=(a/2)*sqrt(2-cos β )

CD=H_(цилинидра)


По теореме Пифагора:

AB^2=a^2-H^2=a^2*(2+cos β )/4

АВ - это длина окружности основания цилиндра

2π*R=a*sqrt(2+cos β )/2 ⇒ R=a*sqrt(2+cos β )/(4π)

S_(бок пов)=S_(ABCD)=AB*CD=(a*sqrt(2+cos β )/2)*(a/2)*sqrt(2-cos β )=(1/4)*a^2*sqrt(4-cos^2 β )

S_(осн)=πR^2=π*(a*sqrt(2+cos β )/(4π))^2

S_(полн.пов.)=S_(бок пов)+2S_(осн)=(1/4)*a^2*sqrt(4-cos^2 β )+2*π*(a*sqrt(2+cos β )/(4π))^2