Задача 58929 Решить систему уравнений и найти частные...

5fa5696d6c239d30d9b668bb

01.04.2021 14:35:07

Решить систему уравнений и найти частные решения, которые
удовлетворяют приведенным начальным условиям.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.04.2021 22:33:46

★

{x`=y+e^(3t)
{y`=x+5e^(3t) ⇒ x=y`-5e^(3t) и подставляем в первое:

(y`-5e^(3t))`=y+e^(3t)

y``-5e^(3t)*(3t)`-y-e^(3t)=0

y``-y=16e^(3t) - неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``-y=0

Составляем характеристическое:
k^2-1=0
k= ± 1- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:

[b]y=C_(1)e^(-t)+C_(2)e^(t)[/b]

Правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный вид"
Поэтому частное решение находим в виде:

y_(част)=Ae^(3t)

Находим
y`_(част)=3Ae^(3t)
y``_(част)=9Ae^(3t)

Подставляем в уравнение:y``-y=16e^(3t)

9Ae^(3t)-Аe^(3t)=16e^(3t)
А=2

y=C_(1)e^(-t)+C_(2)e^(t)+2e^(3t) - общее решение неоднородного

x=y`-5e^(3t) =(C_(1)e^(-t)+C_(2)e^(t)+2e^(3t) )`-5e^(3t) =-C_(1)e^(-x)+C_(2)e^(t)+6e^(3t)-5e^(3t)

Решение системы:
y=C_(1)e^(-t)+C_(2)e^(t)+2e^(3t)
x=-C_(1)e^(-t)+C_(2)e^(t)+e^(3t)


Частное решение
х(0)=2

2=-C_(1)e^(-0)+C_(2)e^(0)+e^(0) ⇒ [b]2=-C_(1)+C_(2)+1
[/b]

y(0)=3

3=C_(1)e^(-0)+C_(2)e^(0)+2e^(0) ⇒ [b]3=C_(1)+C_(2)+2[/b]


Из системы:
{[b]2=-C_(1)+C_(2)+1[/b]
{[b]3=C_(1)+C_(2)+2[/b]

находим

C_(1)=0
C_(2)=1

Частное решение
y=e^(t)+2e^(3t)
x=e^(t)+e^(3t)