Задача 58871 Интегрированние иррациональных функций ...
Условие
математика ВУЗ
171
Решение
★
[m]\sqrt{\frac{x}{x-1}}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x}{x-1}=t^2[/m]
[m]x=\frac{t^2}{t^2-1}[/m]
[m]dx=(\frac{t^2}{t^2-1})`dt=(\frac{t^2-1+1}{t^2-1})`dt=(1+\frac{1}{t^2-1})`dt=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt[/m]
Тогда
[m]∫\frac{\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x-1}}dx= ∫ \frac{t}{(\frac{t^2}{t^2-1})^2}(-\frac{2t}{(t^2-1)^2})dt=-2 ∫ \frac{1}{t^2}dt=\frac{2}{t}+C=[/m]
[m]=\frac{2}{\sqrt{\frac{x}{x-1}}}+C=\frac{2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}+C[/m]