Задача 58864 Интегрированние иррациональных функций...
Условие
Решение
[m]\sqrt[6]{x}=t[/m] ⇒ [m]x=t^6[/m]
[m]dx=6t^5dt[/m]
[m]\sqrt[3]{x}=t^2[/m]
[m]\sqrt[3]{x^2}=t^4[/m]
[m]\sqrt{x}=t^3[/m]
[m] ∫ \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x}}dx= ∫ \frac{t^2}{t^4-t^3}\cdot 6t^5dt[/m]
Получили интеграл от рациональной дроби.
Дробь неправильная. Выделяем целую часть:
[m]6\cdot ∫ \frac{t^4}{t-1}dt=6\cdot ∫ \frac{t^4-1+1}{t-1}dt=6\cdot ∫ \frac{t^4-1}{t-1}dt+6\cdot ∫\frac{1}{t-1}dt=[/m]
[m]=6\cdot ∫ \frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t-1}dt+6\cdot ∫\frac{1}{t-1}dt=[/m]
[m]=6\cdot ∫ (t^3+t^2+t+1)dt+6\cdot ∫\frac{1}{t-1}dt=[/m]
[m]=6\cdot (\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+t+ln|t-1|)+C=[/m]
где [m] t=\sqrt[6]{t}[/m]