Задача 58854 ...

6061a7d74762ec702e64e20f

29.03.2021 13:14:07

Решить уравнение sin(2πx)+1=cos( πx)+sqrt(2)cos( πx- π/4). Записать все корни относящиеся промежутку 1-3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.03.2021 18:24:57

★

По формуле синуса двойного угла:
sin(2πx)=2sin (πx)*cos( πx)

По формлуе: cos ( α - β )=cos α *cos β +sin α *sin β

cos( πx– π/4)=cos (π x)*cos(π/4) +sin (πx)*sin (π /4)=(sqrt(2)/2)*(cos(π x) +sin (πx))

Уравнение принимает вид:
2sin (πx)*cos( πx)+1=cos( πx)+cos(π x) +sin (πx)

2sin (πx)*cos( πx)+1-2cos( πx)-sin (πx)=0

Раскладываем на множители способом группировки:

(2sin (πx)*cos( πx)-2cos( πx))+(1-sin (πx))=0

(2cos(πx)-1)*(sin(πx)-1)=0

2cos(πx)-1=0 или sin(πx)-1=0


cosπx=1/2

πx= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒[b] x= ± (1/3)+2n, n ∈ Z[/b]


sin(πx)=1

πx= (π/2)+2πk, k ∈ Z ⇒[b] x= (1/2)+2k, k ∈ Z[/b]


Отбор корней: k ∈ Z; n ∈ Z

1 ≤ (1/3)+2n ≤ 3 ⇒ 1-(1/3)≤ 2n ≤ 3-(1/3) ⇒ (1/3) ≤ n ≤ (4/3) ⇒ [b]n=1[/b]

x= (1/3)+2=2целых (1/3)- корень принадлежащий отрезку

1 ≤ -(1/3)+2n ≤ 3 ⇒ 1+(1/3)≤ 2n ≤ 3+(1/3) ⇒ (2/3) ≤ n ≤ (5/3) ⇒ [b]n=1[/b]

x=- (1/3)+2=1целая (2/3)- корень принадлежащий отрезку

1 ≤ (1/2)+2k ≤ 3 ⇒ 1-(1/2)≤ 2k ≤ 3-(1/2) ⇒ (1/2) ≤ 2k ≤ (5/2) ⇒(1/4) ≤ k ≤ (5/4) [b]k=1[/b] ⇒

x= (1/2)+2=2,5- корень принадлежащий отрезку