Задача 58812 Под номерами 1 и 2...
Условие
Решение
ОДЗ:
{x^2+x-2>0 ⇒ x<-2 или x>1
{(x+2)/(x-1) >0 ⇒ x<-2 или x>1
ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;-2) U(1;+ ∞ )
1=log_(2)2
log_(2)(x^2+x-2) ≤ log_(2)2+log_(2)(x+2)/(x-1)
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_(2)(x^2+x-2) ≤ log_(2)2*(x+2)/(x-1)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
(x^2+x-2) ≤ 2*(x+2)/(x-1)
(х+2)*(х-1)-2*(x+2)/(x-1) ≤ 0
(x+2)*( (x-1)-2/(x-1)) ≤ 0
(x+2)*((x-1)^2-2)/(x-1) ≤ 0
Решаем методом интервалов.
Нули функции:
x+2=0 ⇒ x=-2
(x-1)^2-2=0
x-1= ± sqrt(2)
x=1-sqrt(2) или x=1+sqrt(2)
Нуль знаменателя: х=1
_+__ [-2] ___-__ [1-sqrt(2) ] ___+__ (1) __-____ [1+sqrt(2) ] ___+___
[-2; 1-sqrt(2)] U (1;1+sqrt(2)]
C учетом ОДЗ получаем ответ
(1;1+sqrt(2)]
2)
ОДЗ:
{x^2-9>0 ⇒ x<-3 или x>3
{(x+3)/(x-3) >0 ⇒ x<-3 или x>3
ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;-3) U(3;+ ∞ )
log_(3)(x^2-9) -3log_{3}(x+3)/(x-3)>2
так как
2=log_(3)9
log_(3)(x^2-9) -3log_{3}(x+3)/(x-3)>log_(3)9+3log_{3}(x+3)/(x-3)
По свойству логарифма степени:
log_(3)(x^2-9) -log_{3}((x+3)/(x-3))^3>log_(3)9
Заменим разность логарифмов логарифмом частного:
log_(3)(x^2-9) (x-3)^3/(x+3)^3>log_(3)9
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому
(x-3)^4/(x+3)^2>9
(x-3)^4/(x+3)^2-3^2>0
Применяем формулу a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
((x-3)^2/(x+3)-3)*((x-3)^2/(x+3)+3) >0
(x^2-6x+9-3x-9)/(x+3) * (x^2-6x+9+3x+9)/(x+3) >0
(x^2-9x)*(x^2-3x+18)/(x+3)^2 >0
x^2-3x+18 >0 при любых х, так как D <0
x*(x-9)/(x+3)^2 >0
__+__ (-3) ___+__ (0) ___-___ (9) __+___
x ∈ (- ∞ ;-3)U(-3;0) U(9;+ ∞ )
С учетом ОДЗ получаем ответ
(- ∞ ;-3)U(9;+ ∞ )