Задача 58759 Вычислить определенный интеграл: ...
Условие
Решение
[m]5x^2-4=t[/m]
[m]d(5x^2-4)=dt[/m]
[m]10xdx=dt[/m] ⇒ [m]5xdx=\frac{1}{2}dt[/m]
Меняем пределы интегрирования
если x=1, то [m]t=5\cdot 1-4=1[/m]
если x=2, то [m]t=5\cdot 2^2-4=16[/m]
[m] ∫^{2}_{1}\frac{5xdx}{\sqrt{5x^2-4}+\sqrt[4]{5x^2-4}}=∫^{16}_{1}\frac{\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}+\sqrt[4]{t}}
[/m]
Еще раз замена переменной:
[m]\sqrt[4]{t}=z[/m] ⇒ [m]t=z^4[/m]
[m]dt=4z^3dz[/m]
меняем пределы интегрирования:
если t=1, то [m]z=\sqrt[4]{1}=1[/m]
если t=16, то [m]z=\sqrt[4]{16}=2[/m]
[m] ∫^{2}_{1}\frac{5xdx}{\sqrt{5x^2-4}+\sqrt[4]{5x^2-4}}=∫^{16}_{1}\frac{\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}+\sqrt[4]{t}}
=∫^{2}_{1}\frac{\frac{1}{2}\cdot 4 z^3dz}{z^2+z}=[/m]
[m]=2∫^{2}_{1}\frac{ z^3dz}{z^2+z}=[/m] получили интеграл от рациональной дроби.
Дробь неправильная. Выделяем целую часть.
Делим z^3 на z^2+z