Задача 58746 В правильной треугольной призме...

6048987fc87bcc1c7d5240d6

21.03.2021 14:53:08

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны равны 2 , боковые рёбра равны 1 , точка D - середина CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1. ( желательно , чтобы решение было через систему координат )

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.03.2021 09:34:29

★

Располагаем призму в системе координат так как показано на рисунке ( см. скрин 1)
Cоставляем уравнение плоскости ADB_(1).

Для этого выбираем произвольную точку M(x;y;z) принадлежащую этой плоскости.

Тогда векторы:

[m]\vec{AM}=(x-1;y-0;z-0)=(x-1;y;z)[/m]

[m]\vec{AB_{1}}=(\frac{1}{2}-1;\frac{\sqrt{3}}{2}-0;1-0)=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1) [/m]

[m]\vec{AD}=(0-1;0-0;0-\frac{1}{2})=(-1;0;-\frac{1}{2})[/m]

компланарны.

Значит, определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0:


[m]\begin {vmatrix} x-1&y&z\\-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&1\\-1&0&-\frac{1}{2}\end {vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель:

[m]-\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (x-1)+y+\frac{\sqrt{3}}{4}z+\frac{1}{4}y=0[/m]

Приводим к каноническому вида ( Ax+By+Cz+D=0)

[m]-\sqrt{3}x+5y+2\sqrt{3}z+\sqrt{3}=0[/m]

Тогда расстояние находим по формуле ( cм. скрин 2)


[m]d=\frac{|-\sqrt{3}\cdot 0+5\cdot 0+2\sqrt{3}\cdot 0+\sqrt{3}|}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2+5^2+(2\sqrt{3})^2}}=[/m] считайте

----------