Задача 58736 Вычисление площади фигуры в полярной...

60543e55bff3af66c698ece7

19.03.2021 13:09:28

Вычисление площади фигуры в полярной системе координат

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.03.2021 16:05:10

★

x=rcos φ
y=rsin φ

x^2+y^2=r^2

(r^2)^3=4*(rcos φ)^2* (rsin φ)^2

r^6=4r^4sin^2 φ *cos^2 φ

r^2=4sin^2φ *cos^2 φ

r=2sin φ *cos φ

r=sin2 φ

r ≥ 0 ⇒ sin2 φ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ 2φ ≤π+2πn, n ∈ Z

0≤ φ ≤(π/2)+πn, n ∈ Z

Линия расположена в первой и третьей четвертях

В силу симметрии берем одну четверть и умножаем площадь на 2

[m]S= 2∫ ∫ _{D}dxdy=[/m]

переходим к полярным координатам:

[b]0 ≤ r ≤ sin2φ [/b]

0 ≤ φ ≤ π/2


[m]S=2\cdot ∫^{π/2}_{0} ∫^{sin2 φ }_{0}rdrd φ =[/m]

[m]=2\cdot∫^{π/2}_{0} (r^2/2)|^{sin2 φ }_{0}d φ =[/m]

[m]2\cdot∫^{π/2}_{0}(sin^22 φ )/2d φ =...[/m]