Задача 58688 Помогите пожалуйста решить...
Условие
Решение
Замена переменной:
[m]x^{\frac{1}{6}}=t[/m]
тогда
[m]x^{\frac{1}{2}}=t^3[/m]
[m]x^{\frac{1}{3}}=t^2[/m]
[m]x=t^6[/m]
[m]dx=6t^5dt[/m]
[m] ∫ \frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}+2x^{\frac{1}{3}}}= ∫ \frac{6t^5dt}{t^3+2t^2}=6 ∫ \frac{t^5}{t^2(t+2)}dt= 6∫ \frac{t^3-8+8}{t+2}dt=6 ∫(t^2-2t+4-\frac{8}{t+2})dt= [/m]
[m]=6(\frac{t^3}{3}-2\frac{t^2}{2}+4t-8ln|t+2|)+C[/m]
[m]t=\sqrt[6]{x}[/m]
б)
Так как
[m]d(x^2+2x)=(x^2+2x)`dx=(2x+2)dx=2(x+1)dx[/m]
Представим данный интеграл как сумму двух интегралов:
[m] ∫ \frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x}}dx=∫ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}dx+∫ \frac{2}{\sqrt{x^2+2x}}dx=[/m]
Умножим на 2 и разделим на 2
подынтегральное выражение первого интеграла
Выделим полный квадрат под знаком корня во втором интеграле:
[m]=\frac{1}{2}∫ \frac{2(x+1)}{\sqrt{x^2+2x}}dx+∫ \frac{2}{\sqrt{x^2+2x+1-1}}dx=[/m]
[m]=\frac{1}{2}∫ \frac{d(x^2+2x)}{\sqrt{x^2+2x}}+2∫ \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2-1}}d(x+1)=[/m]
Применяем формулы ( см. скрин)
[m]=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{x^2+2x}+2ln|x+1+\sqrt{x^2+2x}|+C=\sqrt{x^2+2x}+2ln|x+1+\sqrt{x^2+2x}|+C[/m] - это О Т В Е Т
Можно считать заменой переменной.
Это второй способ решения
Для этого выделить полный квадрат:
x^2+2x=(x+1)^2-1
t=x+1
x=t-1
dx=dt
x+3=t-1+3=t+2
[m] ∫ \frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x}}dx= ∫ \frac{t+2}{\sqrt{t^2-1}}dt=[/m]
суммa двух интегралов:
[m]∫ \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt+∫ \frac{2}{\sqrt{t^2-1}}dt=[/m]
[m]=\frac{1}{2}∫ \frac{d(t^2-1)}{\sqrt{t^2-1}}+∫ \frac{2}{\sqrt{t^2-1}}dt=[/m]
[m]=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t^2-1}+2\cdot ln|t+\sqrt{t^2-1}|=[/m]
Обратная замена:
[m]=\sqrt{x^2+2x}+2ln|x+1+\sqrt{x^2+2x}|+C[/m] - это О Т В Е Т.
Ответы ОДИНАКОВЫЕ
