Задача 58685 Помогите пожалуйста...

5ffe0876960c3c35933dca28

19.03.2021 17:57:36

Помогите пожалуйста ????????????
Вычислить интеграл
Пробовал несколько способов., Не получается всё равно

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.03.2021 18:19:30

★

[m] ∫ \sqrt{x^3+x^4}dx= ∫ x\sqrt{x+x^2}dx[/m]

Выделяем полный квадрат:

[m]x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}[/m]

Замена переменной:

[m]x+\frac{1}{2}=z[/m] ⇒ [m]x=z-\frac{1}{2}[/m] и [m]dx=dz[/m]


[m] ∫ \sqrt{x^3+x^4}dx= ∫ (z-\frac{1}{2})\sqrt{z^2-\frac{1}{4}}dz=[/m]

тригонометрические подстановки:

[m]z=\frac{1}{2sint}[/m]

[m]dz=-\frac{1}{2sin^2t}\cdot (sint)dt=-\frac{cos}{2sin^2t}dt[/m]

[m]z^2-\frac{1}{4}=(\frac{1}{2sint})^2-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot (\frac{1}{sin^2t}-1)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1-sin^2t}{sin^2t}=\frac{1}{4}\cdot \frac{cos^2t}{sin^2t}[/m]

[m]\sqrt{z^2-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{cost}{sint}[/m]


[m] ∫ \sqrt{x^3+x^4}dx= ∫ (\frac{1}{2sint}-\frac{1}{2})\frac{1}{2}\cdot \frac{cost}{sint}\cdot (-\frac{cos}{2sin^2t})dt=[/m]


[m]=\frac{1}{8}∫ (1-\frac{1}{sint})\cdot \frac{cos^2t}{sin^3t}dt=[/m]

[m]=\frac{1}{8}∫ \frac{cos^2t}{sin^3t}dt-\frac{1}{8}∫ \frac{cos^2t}{sin^4t}dt= [/m]

[m]=\frac{1}{8}∫ \frac{1-sin^2t}{sin^3t}dt-\frac{1}{8}∫ \frac{1-sin^2t}{sin^4t}dt= [/m]


[m]=\frac{1}{8}∫ \frac{1}{sin^3t}dt-\frac{1}{8} ∫\frac{1}{sint}dt- \frac{1}{8}∫ \frac{1}{sin^4t}dt+\frac{1}{8}∫ \frac{1}{sin^2t}dt= [/m]

Первый интеграл см. здесь
https://reshimvse.com/question/6053219fbff3af66c698e65a

второй - табличный.

Формула там же

Четвертый табличный.

Осталось вычислить

[m]∫ \frac{1}{sin^4t}dt=∫ \frac{1}{sin^2t}\cdot \frac{1}{sin^2t}dt=[/m]

Одну дробь заменим по формуле

[m]1+ctg^2 t = \frac{1}{sin^2t}[/m] ⇒

[m]∫ \frac{1}{sin^4t}dt=∫ \frac{1}{sin^2t}\cdot (1+ctg^2 t )dt=∫ \frac{1}{sin^2t}dt+∫ \frac{ctg^2 t }{sin^2t}=[/m]


[m]ctg t+ ∫ ctg^2 t d(ctgt)=ctgt+\frac{ctg^3t}{3}[/m]