Задача 58673 Вычислить интеграл:...
Условие
Решение
прибавим и отнимем x^2
[m]∫\frac{1}{(1+x^2)^2}dx=∫\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^2}dx=[/m]
Группируем и почленно делим:
[m]=∫\frac{(1+x^2)-x^2}{(1+x^2)^2}dx=∫\frac{(1+x^2)}{(1+x^2)^2}dx-∫\frac{(x^2)}{(1+x^2)^2}dx=[/m]
Первый интеграл - табличный, получим
[m]∫\frac{(1+x^2)}{(1+x^2)^2}dx=∫\frac{1}{1+x^2}dx=arctg x[/m].
Второй интеграл считаем по частям:
[m]u=x[/m]
[m]dv=\frac{x}{(1+x^2)^2}dx[/m]
⇒
[m]du=dx[/m]
[m]v= ∫ \frac{x}{(1+x^2)^2}dx=\frac{1}{2} ∫\frac{2x}{(1+x^2)^2}dx=\frac{1}{2} ∫\frac{d(1+x^2)}{(1+x^2)^2}dx=-\frac{1}{2(1+x^2)}[/m]
[m]=∫\frac{(x^2)}{(1+x^2)^2}dx=x\cdot \frac{x}{(1+x^2)^2}+\frac{1}{2} ∫\frac{1}{1+x^2}dx[/m]
[m]=x\cdot \frac{x}{(1+x^2)^2}+\frac{1}{2}arctgx +C[/m]
О т в е т. [m]\frac{1}{2}arctg x-\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+С[/m].