Задача 58672 Помогите решить интеграл. Не смог решить...
Условие
Решение
[m]x=\sqrt{2}sint[/m]
[m]dx=\sqrt{2}cost dt[/m]
Тогда
[m]2-x^2=2-(\sqrt{2}sint)^2=2-2sin^2t=2\cdot (1-sin^2t)=2\cdot cos^2t[/m]
И хорошо извлекается корень:
[m]\sqrt{2-x^2}=\sqrt{2}cost[/m]
Получим
[m]= ∫ \frac{\sqrt{2}costdt}{2cos^2t\cdot \sqrt{2}cost}∫ \frac{1}{2cos^2t}dt=\frac{1}{2}tgt+C[/m]
Теперь осталось выразить [m]tgt[/m] через[m] x[/m]
[m]x=\sqrt{2}sint[/m] ⇒ [m]sint=\frac{x}{\sqrt{2}}[/m] ⇒
[m]cos^2t=1-sin^2t=1-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2=1-\frac{x^2}{2}[/m]
[m]cost=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}[/m]
[m]tgt=\frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}[/m]
О т в е т. [m]\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}+C[/m]
Упрощаем
[m]\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2-x^2}+C=\frac{x}{2(2-x^2)}+C[/m]