Задача 58665 Интегрирование тригонометрических...

60044b69960c3c35933dfafa

18.03.2021 12:47:11

Интегрирование тригонометрических функций

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.03.2021 20:33:33

★

a) [m] ∫ \frac{dx}{sin^3x}= ∫ \frac{sin^2x+cos^2x}{sin^3x}dx=∫ \frac{sin^2x}{sin^3x}dx+∫ \frac{cos^2x}{sin^3x}dx=[/m]

[m]=∫ \frac{1}{sinx}dx+∫ \frac{cos^2x}{sin^3x}dx=[/m]

первый - табличный ( cм. скрин)

Второй - по частям

[m]u=cosx[/m]

[m]dv=\frac{cos^2x}{sin^3x}dx[/m]

⇒
[m]du=(cosx)`dx=-sinxdx[/m]

[m]v= ∫ \frac{cosx}{sin^3x}dx=∫ \frac{d(sinx)}{sin^3x}dx=- ∫(sinx)^{-3}d(sinx)=\frac{(sinx)^{-2}}{-2} [/m]



[m]∫ \frac{cos^2x}{sin^3x}dx=cosx\cdot\frac{(sinx)^{-2}}{(-2)}- ∫\frac{(sinx)^{-2}}{(-2)} (-sinx)dx= [/m]

Итак:
[m] ∫ \frac{dx}{sin^3x}= ∫ \frac{1}{sinx}dx+∫ \frac{cos^2x}{sin^3x}dx=[/m]

[m]= ∫ \frac{1}{sinx}dx+\frac{cosx}{2sin^2x}-\frac{1}{2}∫ \frac{1}{sinx}dx=[/m]

[red][m]=\frac{1}{2}ln|tg\frac{x}{2}|+\frac{cosx}{2sin^2x}+C[/m][/red]

б)
[m] ∫ \frac{dx}{sin^2x+5cos^2x}= ∫ \frac{dx}{cos^2x\cdot (tg^2x+5)}=[/m]

так как [m] \frac{dx}{cos^2x}=d(tgx)[/m] получили табличный интеграл ( см. скрин)


[m]=∫ \frac{d(tgx)}{tg^2x+5}=\frac{1}{\sqrt{5}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{5}}+C[/m]