Задача 58517 Найти объем между тремя...
Условие
Нарисуйте, что они собой представляют. Как выглядит тело в трехмерном пространстве?
V: z = 1, x^2 + y^2 = 1, z = x + y.
Решение
Это бесконечная поверхность, простирается и вверх и вниз ( см. рис.1)
Другие поверхности даны, чтобы ограничить ее и получить тело.
z=1 - плоскость, параллельная плоскости xОу, проходящая через точку (0;0;1) на оси Оz ( cм. рис. 2)
Она и ограничит эту поверхность сверху.
Плоскость z=x+y проходит через точки:
(1;0;1); (0;1;1);(0;0;0)
Эта плоскость изображена на рис. 3
Поэтому [b]рисовать само тело не надо. [/b]
Надо [b]представить[/b], как оно ограничено снизу и сверху.
и какова область D
( на рис. 5 примерный вид тела)
Cнизу оно ограничено плоскостью
z=x+y
сверху ограничено плоскостью
z=1
Это и есть пределы z_(1) и z_(2)
Проекцией этого тела на плоскость хОу является круг x^2+y^2 ≤ 1
Это и есть область D
[m]V= ∫ ∫ ∫_{ Ω }dxdyz= ∫ ∫_{D}[/m] [red][m]( ∫^{1}_{x+y}dz)[/m][/red][m]dxdy=[/m]
[m]∫ ∫_{D}[/m][red][m](z)|^{1}_{x+y}[/m][/red][m]dxdy=∫ ∫_{D}[/m][red][m](1-x-y)[/m][/red][m]dxdy=[/m]
Так как область D круг x^2+y^2 ≤ 1 сегмент ( см. рис.4, область D такая же как вид сверху)
Разбиваем ее на две части.
Для вычисления двойного интеграла переходим к полярным координатам:
[m]x=rcos φ [/m]; [m]x=rsin φ [/m]
[m]dxdy=rdrd φ [/m]
линия пересечения
x+y=1
в полярных координатах имеет вид:
[m]rcos φ +rsin φ =1[/m] ⇒ [m] r=\frac {1}{sin φ+cos φ } [/m];
D_(1):
[m]0 ≤ r ≤ 1[/m]; [m]0 ≤ φ ≤ 3π/2[/m]
D_(2):[m]0 ≤ r ≤ \frac {1}{sin φ+cos φ } [/m]; [m]3π/2≤ φ ≤2π[/m]
[m]=∫ ^{2π}_{0}[/m][blue][m]( ∫ ^{1}_{0}(1-rcos φ -rsin φ )d r )[/m][/blue][m]d φ =[/m]
[m]=∫ ^{3π/2}_{0}[/m][blue][m](r-\frac{r^2}{2}cos φ -\frac{r^2}{2}sin φ )|^{r=1}_{r=0} )[/m][/blue][m]d φ +∫ ^{2π}_{3π/2}[/m][blue][m](r-\frac{r^2}{2}cos φ -\frac{r^2}{2}sin φ )|^{r=\frac {1}{sin φ+cos φ }}_{r=0} )[/m][/blue][m]d φ [/m]
считайте...
