Задача 58454 Найти dz и d^2z функции . Нужно решение...

6048d72bc87bcc1c7d524432

10.03.2021 20:07:43

Найти dz и d^2z функции . Нужно решение

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.03.2021 20:42:06

★

1.
[m]dz=z`_{x}dx+z`_{y}dy[/m]

[m]z`_{x}=((sinx)^{cosy})`_{x}[/m]

x- переменная, а [m]y [/m]и [m]cosy[/m] - константы.

Применяем формулу (u^( α ))`= α u^( α-1 ) *u`

[m]z`_{x}=(cosy)\cdot (sinx)^{cosy -1}\cdot (sinx)`_{x}[/m]

[m]z`_{x}=(cosy)\cdot(sinx)^{cosy -1}\cdot cos x[/m]


[m]z`_{y}=((sinx)^{cosy})`_{y}[/m]

y- переменная, а [m]x [/m]и [m]sinx[/m] - константы.

Применяем формулу (a^( u ))`= a^( u ) *lna* u`

[m]z`_{y}=(sinx)^{cosy}\cdot ln(sinx)\cdot (cosy)`_{y}[/m]

[m]z`_{y}=(sinx)^{cosy}\cdot ln(sinx)\cdot (-siny)[/m]

[m]dz=(cosy)\cdot(sinx)^{cosy -1}\cdot cos xdx+(sinx)^{cosy}\cdot ln(sinx)\cdot (-siny)dy[/m]

2.

[m]d^2z=z``_{xx}dx^2+2z``_{xy}dxdy+z``_{yy}dy^2[/m]

Находим:

[m]z``_{xx}=(z`_{x})`_{x}=(cosy\cdot(sinx)^{cosy -1}\cdot cos x)`_{x}[/m]

применяем правила:
постоянный множитель можно вынести за знак производной
правило нахождения производной произведения

[m]z``_{xx}=(cosy)\cdot((sinx)^{cosy -1})`_{x}\cdot cos x+(sinx)^{cosy -1}\cdot (cos x)`_{x})[/m]

По
формулe (u^( α ))`= α u^( α-1 ) *u`

[m]z``_{xx}==(cosy)\cdot((cosy-1)\cdot (sinx)^{cosy -1-1}\cdot (sinx)`_{x}\cdot cos x+(sinx)^{cosy -1}\cdot (-sin x))[/m]

[m]z``_{xx}=(cosy)\cdot((cosy-1)\cdot (sinx)^{cosy -1-1}\cdot (sinx)`_{x}\cdot cos x+(sinx)^{cosy -1}\cdot (-sin x))[/m]

[m]z``_{xx}=(cosy)\cdot((cosy-1)\cdot (sinx)^{cosy -2}\cdot cos^2 x-(sinx)^{cosy -1}\cdot sin x)[/m]

[red][m]z``_{xx}=(cosy)\cdot((cosy-1)\cdot (sinx)^{cosy -2}\cdot cos^2 x-(sinx)^{cosy })[/m][/red]

2)
Аналогично
[m]z``_{xy}=(z`_{x})`_{y}=(cosx)\cdot(cosy\cdot (sinx)^{cosy -1})`_{x}[/m][/m]

применяем правила:
постоянный множитель можно вынести за знак производной
правило нахождения производной произведения и
формулу (a^( u ))`= a^( u ) *lna* u`

3) Аналогично
[m]z``_{yy}=(z`_{y})`_{y}=((sinx)^{cosy}\cdot ln(sinx)\cdot (-siny))`_{y}[/m]
применяем правила:
постоянный множитель можно вынести за знак производной
правило нахождения производной произведения и
формулу (a^( u ))`= a^( u ) *lna* u`

Cчитайте ....