х;y;z
d^2=x^2+y^2+z^2 ⇒ z^2=d^2-x^2-y^2
d=sqrt(d^2-x^2-y^2)
V=x*y*z
V(x;y)=x*y*sqrt(d^2-x^2-y^2)
Исследуем эту функцию на наибольшее значение.
Находим частные производные. Применяем формулу производная произведения:
V`_(x)=(x*y)`_(x)*sqrt(d^2-x^2-y^2)+(xy)*(sqrt(d^2-x^2-y^2))`_(x);
V`_(x)=y*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(d^2-x^2-y^2)`_(x)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)
V`_(x)=y*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-2x)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)
V`_(x)=y*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-x)/(sqrt(d^2-x^2-y^2)
V`_(x)=[b]([/b]y*(d^2-x^2-y^2)-x^2y[b])[/b]/(sqrt(d^2-x^2-y^2)
Аналогично.
V`_(y)=(x*y)`_(y)*sqrt(d^2-x^2-y^2)+(xy)*(sqrt(d^2-x^2-y^2))`_(y);
V`_(y)=x*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(d^2-x^2-y^2)`_(y)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)
V`_(y)=x*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-2y)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)
V`_(y)=x*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-y)/(sqrt(d^2-x^2-y^2)
V`_(y)=[b]([/b]x*(d^2-x^2-y^2)-x*y^2[b])[/b]/(sqrt(d^2-x^2-y^2)
Находим стационарные точки:
Решаем систему уравнений:
{V`_(x)=0
{V`_(y)=0 ⇒
{y*(d^2-x^2-y^2)-x^*2y=0
{x*(d^2-x^2-y^2)-x*y^2=0
{y*(d^2-2x^2-y^2)=0
{x*(d^2-x^2-2y^2)=0
x=0'y=0
x^2-y^2=0 ⇒ x=y; x=-y
d^2=3x^2⇒
x^2=d^2/3
Применяем достаточное условие экстремума.
Находим вторые частные производные:
V``_(xx)=(V`_(x))`_(x)=
V``_(xy)=(V`_(x))`_(y)=
V``_(yy)=(V`_(y))`_(y)=
Находим вторые частные производные в точках возможных экстремумов
A=V``_(xx)(x_(o);y_(o))=
B=V``_(yy)(x_(o);y_(o))=
C=V``_(xy)(x_(o);y_(o))=