Задача 58348 Сфера задана уравнением x 2 + (y-2) 2...
Условие
2 + (y-2) 2 +(z-3)
2 = 16.
а) Покажите, что точка В(0;2; -1) принадлежит сфере.
b) Запишите координаты вектора ОВ, где О — центр сферы.
с) Составьте общее уравнение плоскости, касательной к сфере, проходящей через
точку В.
a) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости x- y+z-1=0 и определите
взаимное расположение сферы и данной плоскости.
Решение
О(0;2;3) — центр сферы.
а)Подставляем координаты точки В(0;2; –1) в уравнение сферы:
()^2 + (2–2)^2 +(-1–3)^2 = 16
0+0+16 = 16 - верно, значит точка B принадлежит сфере.
b) vector{ ОВ}=(x_(B)-x_(О); y_(B)-y_(О);z_(B)-z_(О))=(0-0;2-2;-1-(-3))=(0;0;4)
d) Расстояние от центра сферы О(0;2;3) до плоскости x– y+z–1=0
вычисляем по формуле:
[m]d=\frac{Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}[/m]
О(0;2;3)
x_{o}=0
y_{o}=2
z_{o}=3
x– y+z–1=0
A=1
B=-1
C=1
[m]d=\frac{1\cdot 0+(-1)\cdot 2+1\cdot 3-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=0[/m]
Плоскость проходит через центр сферы ( плоскость пересекает сферу)
с) Составьте [b]общее[/b] уравнение плоскости, касательной к сфере, проходящей через точку В.
Это уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной радиусу vector{ ОВ}.
Т.е vector{ ОВ} - нормальный вектор этой касательной плоскости.
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) и имеющей нормальный вектор (А;B:C) имеет вид:
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0
Подставляем и получаем:
0*(x-0)+0*(y-2)+2*(z-(-1))=0 ⇒ z+1=0 - о т в е т