Задача 58327 Решите уравнение ...
Условие
Решение
[m]cos2x+\sqrt{2}\cdot (sinx)-1=0[/m]
Применяем [i]формулу косинуса двойного угла[/i] и тригонометрическую единицу:
[m]cos^2x-sin^2x+\sqrt{2}\cdot sinx-cos^2x-sin^2x=0[/m]
[m]\sqrt{2}\cdot sinx-2sin^2x=0[/m]
Раскладываем на множители:
[m]sinx \cdot (\sqrt{2}-2sinx)=0[/m]
[m] sinx=0 [/m] или [m] \sqrt{2}-2sinx=0[/m]
[m] sinx=0 [/m] или [m] sin x =\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
[m] x =πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] или [m] x=(-1)^{k}arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b]
[m] x =πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] или [m]x= (-1)^{k}\frac{π}{4}+πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b]
О т в е т. [m] x =πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] или [m]x= (-1)^{k}\frac{π}{4}+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]
Отрезку [m][\frac{5π}{2}; 4π][/m] принадлежат корни:
[m]x= \frac{3π}{4}+2π=\frac{11π}{4}[/m]
[m] x =3π; x=4π[/m]
( см. рис.)
