Задача 58193 ...
Условие
Решение
[m]dv=\frac{1}{x\sqrt{x}}dx[/m] ⇒ [m]v= ∫ \frac{1}{x\sqrt{x}}dx= ∫x^{-\frac{3}{2}} dx[/m]
[m]v=\frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1}[/m]
[m]v=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}[/m]
[m]v=-\frac{2}{\sqrt{x}}[/m]
Тогда
[m]∫ \frac{arctg\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}dx=-\frac{2}{\sqrt{x}}\cdot arctg \sqrt{x}- ∫( -\frac{2}{\sqrt{x}})\cdot \frac{1}{1+x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=[/m]
[m]=-\frac{2 arctg \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+ ∫\frac{1}{(1+x)\cdot x}dx=[/m]
[m]=-\frac{2 arctg \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+ ∫(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx=[/m]
[m]=-\frac{2 arctg \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+ ln|x|-ln|x+1|+C=[/m]
[m]=-\frac{2 arctg \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+ ln|\frac{x}{x+1}|+C[/m]