Задача 58162 Уважаемые эксперты! Найти первые пять...

5fad1c75322e6f41f4eb6516

28.02.2021 13:23:44

Уважаемые эксперты!
Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y''=6x^2y'-xcos^2y, удовлетворяющего начальным условиям y(0)=1, y'(0)=1
Помогите, пожалуйста а то у меня с рядами совсем не лады.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.02.2021 13:43:29

★

Разложение в степенной ряд можно написать, применив формулу Тейлора:

y(0)+(y`(0)/1!)*(x-0)+(y``(0)/2!)*(x-0)^2+(y```(0)/3!)*(x-0)^3+...(y`````(0)/5!)*(x-0)^5

Надо найти значения

y(0)
y`(0)
y``(0)
y```(0)
...
y`````(0)
Дано: y(0)=[green]1[/green], y'(0)=[red]1[/red]

y''=6x^2y'–xcos^2y ⇒ y``(0)=6*0*1-0*cos^21=[b]0[/b]


y```=(6x^2y'–xcos^2y)`= считаем производную
Применяем правило:
производная произведения...

=6*(x^2)`*y`+6*x^2*(y`)`-(x)`*cos^2y-x*(cos^2y)`=

x - независимая переменная

y - cложная функция

=6*(2x)*y`+6*x^2*(y``)-1*cos^2y-x*2cosy*(cosy)`*y`=

=12x*y`+6x^2*y``-cos^2y-x*22cosy*(-siny)`*y`


y```(0)=12*0*1+6*0^2*0-cos^20-x*22cos0*(-sin0)`*1=-1



y````=(y```)`=(12x*y`+6x^2*y``-cos^2y-x*22cosy*(-siny)`*y`)`=... считаем самостоятельно

y````(0)

y`````=(y````)`=... считаем самостоятельно

y`````(0)

Подставляем в формулу Тейлора ми получаем ответ

y=[green]1[/green]+[red]1[/red]*x+[b]0[/b]*(1/2!)x^2+(-1)*(x^3/3!)+[blue]?[/blue](x^4/4!)+[b]?[/b](x^5/5!)