Задача 58161 Помогите пожалуйста 1)Подведение под...
Условие
1)Подведение под знак дифференциала и введение новой переменной ( 1 фотка)
2)Интегрирование по частям ( 2 фотка)
4)Интегрирование тригонометрических функций( 3 фотка а и б)
Решение
[m]d(ln(x^2+2)=(ln(x^2+2))`dx=\frac{1}{x^2+2}\cdot (x^2+2)`dx=\frac{2x}{x^2+2}dx[/m]
⇒
[m]\frac{x}{x^2+2}dx=\frac{1}{2}d(ln(x^2+2)[/m]
[m] ∫ \frac{xln(x^2+2)}{x^2+2}dx=\frac{1}{2} ∫ln(x^2+2)d(ln(x^2+2))=\frac{1}{2} \cdot \frac{ln^2(x^2+2)}{2}+C=ln^2(x^2+2)+C[/m]
2.
u=lnx
du=1/xdx
dv=dx/x^2
v=-1/x
∫ (lnx/x^2)dx=(lnx)*(-1/x)- ∫ (-1/x)*(1/x)dx=-(lnx)/(x)+ ∫ dx/x^2=
=-(lnx)/(x)-(1/x) + C
3.
По формуле:
cos α cos β =(1/2)cos( α + β)+(1/2)cos( α - β )
cosx*cos4x=(1/2)cos5x+(1/2)cos(-3x)=(1/2)cos5x+(1/2)cos3x
cos(-3x)=cos3x по свойству четности
∫ cosx*cos4xdx= ∫ ((1/2)cos5x+(1/2)cos3x)dx=(1/2) ∫ cos5xdx+(1/2) ∫ cos3xdx=
=(1/2)*(1/5)∫ cos[b]5x[/b]d([b]5x[/b])+(1/2) *(1/3)∫ cos [b]3x[/b]d(3x)=
=(1/10)sin5x+(1/6)sin3x+C
4.
1+cosx=2cos^2(x/2)
(1+cosx)^2=(2cos^2(x/2))^2=4cos^4(x/2)
∫ dx/(1+cosx)^2= ∫dx/(4cos^4(x/2))=(1/4) ∫ (sin^2(x/2)+cos^2(x/2))dx/cos^4(x/2)=
=(1/4) ∫ sin^2(x/2)dx/cos^4(x/2) + (1/4)∫ cos^2(x/2)dx/cos^4(x/2)=
=(1/4) ∫ tg^2(x/2)(dx/cos^2(x/2)) + (1/4)∫ dx/cos^2(x/2)=
=(1/2)∫ tg^2(x/2) d (tg(x/2))+(1/2) ∫ d(x/2)/cos^2(x/2)=
=(1/2)*( tg^3(x/2) )/3 + (1/2)tg(x/2)+C=
=(1/6)tg^3(x/2)+ (1/2)tg(x/2)+C