Задача 58144 Найти неопределенные интегралы. В...
Условие
Решение
Табличный интеграл
∫ e^(u)du=e^(u)+C
u=2x^3
du=6x^2dx ⇒ x^2dx=(1/6)du
∫ x^2*e^(2x^3)dx=(1/6)∫ e^(u)du=(1/6)e^(u)+C=(1/6)e^(2x^3)+C
б).
По частям:
u=arctgx
dv=x^3dx
du=dx/(1+x^2)
v= ∫ x^3dx=x^4/4
∫ x^3* arctgx dx=(arctgx)*(x^4/4)- ∫ (x^4/4)*(dx/(1+x^2))=
=(1/4)x^4*arctgx-(1/4) ∫ (x^4-1+1)dx/(1+x^2)dx=
=(1/4)x^4*arctgx-(1/4) ∫ (x^4-1)dx/(1+x^2) - (1/4) ∫ dx/(1+x^2)=
=(1/4)x^4*arctgx-(1/4) ∫ (x^2+1)dx - (1/4) ∫ dx/(1+x^2)=
=(1/4)x^4*arctgx-(1/4) *((x^3/3)+x) - (1/4) arctgx + C
в)
Интегрирование рациональных дробей.
Раскладываем знаменатель на множители:
[m]x^3+4x^2+4x+16=(x^3+4x^2)+(4x+16)=x^2(x+4)+4(x+4)=(x+4)(x^2+4)[/m]
Тогда подынтегральная дробь раскладывается на простейшие дроби:
[m]\frac{3x-7}{(x+4)(x^2+4)}=\frac{A}{x+4}+\frac{Mx+N}{x^2+4}[/m]
[m]3x-7=A(x^2+4)+(Mx+N)(x+4)[/m]
Равенство двух многочленов. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
Записываем многочлен справа в стандартном виде и приравниваем коэффициенты.
[m]3x-7=(A+M)x^2+(4M+N)x+4A+4N[/m]
[m]0=A+M[/m]
[m]3=4M+N[/m] ⇒ умножаем на (-4): [m]-12=-16M-4N[/m] и складываем с третьим
[m]-7=4A+4N[/m]
получаем:
[m]-19=-16M+4A[/m]
Умножаем первое на (-4)
[m]0=-4A-4M[/m]
Складываем
-19=-20M
[m] M=\frac{19}{20}[/m]
[m]A=-\frac{19}{20}[/m]
[m]N=3-4A=3-4\cdot \frac{19}{20}=-\frac{16}{20}[/m]
[m]∫ \frac{3x-7}{(x+4)(x^2+4)}dx= ∫ \frac{-\frac{19}{20}}{x+4}dx+ ∫ \frac{\frac{19}{20}x-\frac{16}{20}}{x^2+4}dx=[/m]
[m]=-\frac{19}{20}ln|x+4|+\frac{19}{40}∫ \frac{2x}{x^2+4}dx-\frac{16}{20} ∫\frac{1}{x^2+4}dx =[/m]
[m]=-\frac{19}{20}ln|x+4|+\frac{19}{40}ln(x^2+4)-\frac{16}{20}\cdot \frac{1}{2}arctg\frac{x}{2}+C[/m]
г)
[m] ∫ sin^5xdx= ∫ sin^4x\cdot sinxdx=[/m]
Замена:
[m]cosx=t[/m]
[m]dt=(cosx)`dx=-sinxdx ⇒ sinxdx=- dt[/m]
[m]sin^4x=(sin^2x)^2=(1-cos^2x)^2=(1-t^2)^2=t^4-2t^2+1[/m]
[m] ∫ sin^5xdx= ∫ sin^4x\cdot sinxdx= ∫(t^4-2t^2+1)\cdot (-dt)=[/m][m]=- ∫(t ^4-2t^2+1)dt =-\frac{t^5}{5}-2\frac{t^3}{3}+t+C=-\frac{1}{5}cos^5x+\frac{2}{3}cos^3x-cosx+C[/m]
Очень удобно сфотографировать 4 задачи и прикрепить их к вопросу.
Но [b]очень неудобно[/b] оформлять решение такого вопроса.
Потому что каждая задача - это целый вопрос и на него надо дать подробное решение.
А когда задач несколько " подробности" остаются за кадром....