Задача 58102 Помогите пожалуйста! Выполните замену...

60084f73a8b7045a0a52d6e1

25.02.2021 16:33:12

Помогите пожалуйста! Выполните замену переменных и решите систему уравнений
3^(x+y)+3^x+3^y=7
3^(2x+y)+3^(x+2y)=12

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.02.2021 19:04:26

★

{3^(x+y)+3^(x)+3^(y)=7
{3^(2x+y)+3^(x+2y)=12

3^(x+y)=3^(x)*3^(y)
3^(2x+y)=3^(2x)*3^(y)=(3^(x))^2*3^(y)
3^(x+2y)=3^(x)*3^(2y)=3^(x)*(3^(y))^2


{3^(x)*3^(y)+3^(x)+3^(y)=7
{(3^(x))^2*3^(y)+3^(x)*(3^(y))^2=12

Теперь очевидна замена:

3^(x)=u
3^(y)=v

{u*v+u+v=7
{u^2*v+u*v^2=12

{u*v+u+v=7
{u*v*(u+v)=12

Еще раз замена:

u+v=t
u*v=s

{s+t=7
{st=12

⇒
s=3; t=4
s=4;t=3

{u+v=4
{u*v=3
или
{u+v=3
{u*v=4

{3^(x)+3^(y)=4 ⇒ 3^(y)=4-3^(x)
{3^(x)*(4-3^(x))=3 ⇒ (3^(x))^2-4*3^(x)+3=0 ⇒ 3^(x)=3 или 3^(x)=1

[b] x=1; y=0[/b] или [b]x=0; y=1[/b]

или
{3^(x)+3^(y)=3 ⇒ 3^(y)=3-3^(x)
{3^(x)*(3-3^(x))=4 ⇒(3^(x))^2-3*3^(x)+4=0 D<0 уравнение не имеет корней