Задача 58017 помогите пожалуйста решить интеграл...
Условие
Решение
Интегрирование по частям
[m]u=2-x[/m] ⇒ [m]du=-dx[/m]
[m]dv=sin3xdx[/m] ⇒ [m]v= ∫sin3xdx= \frac{1}{3} ∫ sin3xd(3x)=\frac{1}{3}\cdot (-cos3x)[/m]
[m] ∫ ^{\frac{π}{2}}_{0} (2-x)sin3xdx=((2-x)\cdot \frac{1}{3}\cdot (-cos3x))|^{\frac{π}{2}}_{0}- ∫^{\frac{π}{2}}_{0} \frac{1}{3}\cdot (-cos3x)\cdot (-dx)=[/m]
[m]=-(2-\frac{π}{2})\cdot \frac{1}{3}\cdot cos\frac{3π}{2}+(2-0)\cdot \frac{1}{3}\cdot cos0-\frac{1}{3}∫^{\frac{π}{2}}_{0} cos3xdx=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}(sin3x)|^{\frac{π}{2}}_{0}=[/m]
[m]=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}sin\frac{3π}{2}+\frac{1}{9}sin0=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}\cdot (-1)+\frac{1}{9}\cdot 0=\frac{7}{9}[/m]
2.
Несобственный интеграл второго рода.
Особенность в точке x=0
Интеграл рационализируется ( сводится к интегралу от рациональной дроби) с помощью универсальной тригонометрической подстановки ( см скрин).
В данном интеграле:
[m]tg\frac{x}{4}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x}{4}=arctgt[/m] ⇒ [m]x=4arctgt[/m] ⇒ [m]dx=\frac{4}{1+t^2}dt[/m]
[m]sin\frac{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2}[/m]
[m]cos\frac{x}{2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/m]
Пределы интегрирования:
[m]x=\frac{π}{2}[/m] ⇒ [m]t=tg\frac{π}{4}=1[/m]
[m]x=0[/m] ⇒ [m]t=arctg0=0[/m]
[m]∫ ^{\frac{π}{2}}_{0} \frac{dx}{1-cosx+sinx}=∫ ^{1}_{0} \frac{\frac{4}{1+t^2}dt}{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}}=∫ ^{1}_{0}\frac{4dt}{2t^2+2t}=2∫ ^{1}_{0}\frac{dt}{t^2+t}=2∫ ^{1}_{0}(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})dt=[/m]
[m]=2\cdot (ln|t|-ln|t+1|)| ^{1}_{0}=[/m]
[m]=2(ln1-ln2)+2 lim_{t →0} ln|\frac{t}{t+1}|=-2ln2+lnlim_{t →0}|\frac{t}{t+1}|=-2ln2+2ln0=-2ln2+2\cdot ∞[/m] расходится
