Задача 57994 дана правильная треугольная пирамида,...
Условие
Решение
AC=BC=AB=1
AD=BD=CD=3
площадь полной поверхности: [m]S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}[/m], где S_(бок) - площадь боковой поверхности пирамиды, S_(осн) - площадь основания пирамиды
объем:[m]V=\frac{hs_{осн}}{3}[/m], где S_(осн) - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды
s_(осн)=s_(ΔABC)
поскольку треугольник АВС является правильным, то его площадь может быть найдена по формуле [m]S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/m], где a - сторона треугольника следовательно:
s_(осн)=s_(ΔABC)= [m]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/m]= [m]\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}[/m]
площадь боковой поверхности может быть найдена по формуле:
S_(бок)=[m]\frac{Ph}{2}[/m], где P - периметр основания, h - апофема (DF)
P=1+1+1=3
чтобы найти DF рассмотрим треугольник BDC:
DB=BD=3
CF=FB=[m]\frac{1}{2}[/m]
далее рассмотрим какой-либо из треугольников CFD либо BFD, возьмем например CFD:
CF=[m]\frac{1}{2}[/m]
CD=3
<CFD=90^(o)
следовательно, можем воспользоваться теоремой пифагора.
DF по теореме пифагора будет равна:
DF=[m]\sqrt{DC^2-CF^2}=\sqrt{3^2-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{35}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2}[/m]
[m]S_{бок}=\frac{3*\frac{\sqrt{35}}{2}}{2}=\frac{3\sqrt{35}}{4}[/m]
[m]S_{полн}=\frac{3\sqrt{35}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}(3\sqrt{35}+\sqrt{3})[/m]
для того чтобы найти объем пирамиды нам не хватает высоты пирамиды (DS). Найти высоту правильной треугольной пирамиды можно по формуле:
[m]h=\frac{a\sqrt{2}}{3}[/m], где a - ребро пирамиды
[m]h=\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}[/m]
находим объем:
[m]V=\frac{\sqrt{2}*\frac{\sqrt{3}}{4}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/m]