Задача 57935 Помогите с неопределенными интегралами....
Условие
Решение
[m]dt=\frac{dx}{x}[/m]
x=[m]\frac{dx}{dt}[/m]
[m]dx=xdt=\frac{dx}{dt}*dt=dx[/m]
[m]\int{\frac{t^2}{\frac{dx}{dt}}dx}=\int{\frac{t^2dt}{dx}dx}=\int{t^2dt}=\frac{t^3}{3}+c[/m]
вспоминаем что t=ln(x)
[m]\int{t^2dt}=\frac{ln^3(x)}{3}+c[/m]
[red]д)[/red] интегрирование по частям (во вложении)
в нашем случае:
u=x-2
du=dx
v=[m]\int{e^xdx}=e^x[/m]
далее, следуя формуле, исходный интеграл можно записать так:
[m]\int{(x-2)e^x}dx=(x-2)e^x-\int{e^xdx}=xe^x-2e^x-e^x+c=xe^x-3e^x+c[/m]
[red]е)[/red] поскольку дробь [m]\frac{x^3-17}{x^2-4x+3}[/m] является неправильной(т.к числитель этой дроби больше ее знаменателя) разделим числитель на знаменатель столбиком[во вложении])
исходный интеграл можно переписать как:
[m]\int{\frac{x^3-17}{x^2-4x+3}}=\int{x+4+\frac{13x-29}{x^2-4x+3}}dx[/m]
разложим дробь [m]\frac{13x-29}{x^2-4x+3}[/m] на сумму дробей:
[blue]1.[/blue][m]\frac{13x-29}{x^2-4x+3}=\frac{13x-29}{x^2-x-3x+3}=\frac{13x-29}{x(x-1)-3(x-1)}=\frac{13x-29}{(x-3)(x-1)}[/m]
[blue]2.[/blue][m]\frac{13x-29}{(x-3)(x-1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-1}[/m]
13x-29=A(x-1)+B(x-3)
13x-29=Ax-A+Bx-3B
13x-29=x(A+B)-A-3B
получаем систему из двух уравнений:
A+B=13 => A=13-B
-A-3B=-29 => -(13-B)-3B=-29 => -13+B-3B=-29 => -13-2B=-29 => -2B=-29+13 => -2B=-16 => 2B=16 => B=8
A = 13-8=5
следовательно:
[m]\frac{13x-29}{(x-3)(x-1)}=\frac{5}{x-3}+\frac{8}{x-1}[/m]
[m]\int{x+4+\frac{13x-29}{x^2-4x+3}}dx=\int{x+4+\frac{5}{x-3}+\frac{8}{x-1}dx}=\int{xdx}+\int{4dx}+\int{\frac{5}{x-3}dx}+\int{\frac{8}{x-1}dx}=\frac{x^2}{2}+4x+5ln(x-3)+8ln(x-1)+c[/m]
