Задача 57901 Дифференциальные исчисление функций...
Условие
Решение
[m]\frac{dz}{dx}=(y\sqrt{\frac{x}{y}})'=(y\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}})'=\frac{y}{\sqrt{y}}(\sqrt{x})'=\frac{y}{\sqrt{y}}*\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{y}{2\sqrt{xy}}=\frac{y}{2\sqrt{xy}}*\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=\frac{y\sqrt{xy}}{2xy}=\frac{\sqrt{xy}}{2x}[/m]
[m]\frac{d^2z}{dx^2}=(\frac{\sqrt{xy}}{2x})'=\frac{(\sqrt{xy})'*2x-(2x)'\sqrt{xy}}{4x^2}=\frac{\frac{y}{2\sqrt{xy}}*2x-2\sqrt{xy}}{4x^2}=\frac{\frac{xy}{\sqrt{xy}}-2\sqrt{xy}}{4x^2}=\frac{\frac{xy-2xy}{\sqrt{xy}}}{4x^2}=\frac{-\frac{xy}{\sqrt{xy}}}{4x^2}=-\frac{y}{4x\sqrt{xy}}=-\frac{y}{4x\sqrt{xy}}*\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=-\frac{y\sqrt{xy}}{4x*x*y}=-\frac{\sqrt{xy}}{4x^2}[/m]
найдем [m]\frac{d^2z}{dy^2}[/m]:
[m]\frac{dz}{dy}=(y\sqrt{\frac{x}{y}})'=(\frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{y}})'=(\frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{y}}*\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})'=(\sqrt{xy})'=\frac{x}{2\sqrt{xy}}=\frac{x}{2\sqrt{xy}}*\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=\frac{x\sqrt{xy}}{2xy}=\frac{\sqrt{xy}}{2y}[/m]
[m]\frac{d^2z}{dy^2}=(\frac{\sqrt{xy}}{2y})'=\frac{(\sqrt{xy})'*2y-(2y)'*\sqrt{xy}}{4y^2}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{xy}}*2y-2\sqrt{xy}}{4y^2}=\frac{\frac{xy}{\sqrt{xy}}-2\sqrt{xy}}{4y^2}=\frac{\frac{xy-2xy}{\sqrt{xy}}}{4y^2}=-\frac{xy}{4y^2\sqrt{xy}}=-\frac{xy}{4y^2\sqrt{xy}}*\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=-\frac{xy\sqrt{xy}}{4y^2*x*y}=-\frac{\sqrt{xy}}{4y^2}[/m]
подставляем в условие найденные производные:
[m]x^2*(-\frac{\sqrt{xy}}{4x^2})-y^2*(-\frac{\sqrt{xy}}{4y^2})=0[/m]
после сокращений останется:
[m]-\frac{\sqrt{xy}}{4}-(-\frac{\sqrt{xy}}{4})=-\frac{\sqrt{xy}}{4}+\frac{\sqrt{xy}}{4}=0[/m]
следовательно 0=0 - что и требовалось доказать