Задача 57895 ...

5f59316cd9a7eb77f3f3868b

14.02.2021 20:02:43

a) Решите уравнение 2sin2x-sqrt(2)*cosx=sqrt(2)*sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[-5π/2; -π]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.02.2021 20:35:23

★

2sin2x–√2·cosx=√2·sinx

2sin2x=√2·cosx+√2·sinx

2sin2x=√2·(cosx+sinx)


Замена переменной:

cosx+sinx=t

Возводим в квадрат:

cos^2x+2cosx*sinx+sin^2x=t^2

2cosx*sinx=t^2-1

sin2x=t^2-1


2sin2x=√2·(cosx+sinx) ⇔ 2*(t^2-1)=√2·t


2t^2-√2·t-2=0

D=2-4*2*(-2)=18

sqrt(D)=3·√2

t_(1)=-√2/2 или t_(2)=√2


Обратный переход:

cosx+sinx=-√2/2 или cosx+sinx=√2


Решаем каждое уравнение методом введения вспомогательного угла.

1) cosx+sinx=-√2/2

Делим обе части уравнения на √2


(1/√2)*cosx+(1/√2)*sinx=-1/2

cos(π/4)*cosx+sin(π/4)*sinx=-1/2


cos(x-(π/4))=-1/2

x-(π/4)= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

x=(π/4) ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z


Две серии ответов:

x=(π/4)+ (2π/3)+2πn, n ∈ Z или x=(π/4)- (2π/3)+2πn, n ∈ Z

x=(11π/12)+2πn, n ∈ Z или x=- (5π/12)+2πm, m ∈ Z



2)
cosx+sinx=√2

Делим обе части уравнения на √2


(1/√2)*cosx+(1/√2)*sinx=1

cos(π/4)*cosx+sin(π/4)*sinx=1


cos(x-(π/4))=1

x-(π/4)= 2πk, k ∈ Z

x=(π/4)+2πk, k ∈ Z


О т в е т.

a)
(11π/12)+2πn, n ∈ Z
- (5π/12)+2πm, m ∈ Z
(π/4)+2πk, k ∈ Z


б)Указанному отрезку принадлежат корни:

(11π/12)-2π=-13π/12
- (5π/12)-2π=- (29π/12)
(π/4)-2π=-7π/4