Задача 57875 помогите найти интеграл ...
Условие
математика ВУЗ
249
Решение
★
[m]x=2sint[/m]
[m]dx=(2sint)`dt=2costdt[/m]
[m]\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-(2sint)^2}=\sqrt{4(1-sin^2t)}=2cost[/m]
[m]∫ \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}dx= ∫ \frac{(sint)^3}{2cost}2costdt= ∫ sin^3tdt= ∫ sin^2t\cdot sintdt=[/m]
cost=u ⇒ du=-sintdt ⇒ -sintdt=-du=-d(cost)
[m]=- ∫ (1-cos^2t)\cdot (-d(cost))= ∫ d(cost)- ∫ cos^2td(cost)=cost-\frac{cos^3t}{3}+C[/m]
[m]x=2sint[/m] ⇒ [m]sint=\frac{x}{2}[/m] ⇒ [m]sin^2t=(\frac{x}{2})^2[/m]
[m]cos^2t=1-sin^2t=1-(\frac{x}{2})^2[/m]
[m]cost=\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}[/m]
О т в е т. [m]\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}-\frac{(\sqrt{(1-(\frac{x}{2})^2})^3}{3}+C[/m]