Задача 57840 Решите линейные ДУ y’+2xy=xe^(-x^2 ) (...

5f51fe348b85ef59a67d40b6

10.02.2021 22:14:53

Решите линейные ДУ
y’+2xy=xe^(-x^2 )
( подсказка: p(x)=2x, q(x)= xe^(-x^2 ),y=uv,(1) u^'+2xu=0;(2) uv’= xe^(-x^2 ))

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.02.2021 22:22:03

★

Линейное уравнение первого порядка вида:

y`+p(x)*y=q(x)


Решение y находим в виде произведения u*v

y=u·v

Находим
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+2x·u·v=x*e^(-x^2)

u`·v+u(v`+2x·v)=x*e^(-x^2)

Выбираем функцию v так,чтобы
1)v`+2x·v=0

тогда

u`·v+u*0=x*e^(-x^2) ⇒

2)u`·v=x*e^(-x^2)

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными


1)v`+2x·v=0

dv/dx=-2xv

dv/v=-2xdx

lnv=-x^2

[b]v=e^(-x^2)[/b]


2)
u`·v=x*e^(-x^2)

u`·e^(-x^2)=x*e^(-x^2)

u`=x

u=(x^2/2)+C


y=u*v=((x^2/2)+C)*e^(-x^2)

y=(1/2)x^2*e^(-x^2)+C*e^(-x^2)