Задача 57839 Решите линейные ДУ: хy’+y=x^3...

5f51fe348b85ef59a67d40b6

10.02.2021 22:14:22

Решите линейные ДУ:
хy’+y=x^3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.02.2021 22:24:44

★

Делим обе части уравнения на х:

y`+(1/x)*y=x^2

Линейное уравнение первого порядка вида:

y`+p(x)*y=q(x)

p(x)=1/x

q(x)=x^2


Решение y находим в виде произведения u*v

y=u·v

Находим
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+(1/x)·u·v=x^2

u`·v+u(v`+(1/x)·v)=x^2

Выбираем функцию v так,чтобы
1)v`+(1/x)·v=0

тогда

u`·v+u*0=x^2 ⇒

2)u`·v=x^2

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными


1)v`+(1/x)·v=0

dv/dx=-v/x

dv/v=-dx/x

Интегрируем:

∫ dv/v=- ∫dx/x

lnv=-lnx

lnv=lnx^(-1)

lnv=ln(1/x) ⇒


[b]v=1/x[/b]


2)
u`·v=x^2

u`·(1/x)=x^2

u`=x^3

Интегрируем:

u=(x^4/4)+C


y=u*v=((x^4/4)+C)*(1/x)

[b]y=(x^3/4)+(C/x)[/b]