Задача 57790 Помогите пожалуйста...
Условие
Решение
[m]y‘=φ(\frac{y}{x})[/m] – называется однородным.
Решается заменой
[m]\frac{y}{x}=u[/m]⇒[m]y=x⋅u[/m]
[m]y‘=(x⋅u)‘[/m]
[m]y‘=x‘⋅u+x⋅u‘[/m]
[m]x`=1[/m], так как [m]x[/m] - независимая переменная
[m]\frac{dy}{dx}=\frac{y^2\cdot e^{\frac{y}{x}}}{xy\cdot e^{\frac{y}{x}}+x^2}[/m]
делим и числитель и знаменатель на [m]x^2[/m]
[m]\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{y^2}{x^2}\cdot e^{\frac{y}{x}}}{\frac{xy}{x^2}\cdot e^{\frac{y}{x}}+\frac{x^2}{x^2}}[/m]
[m]\frac{dy}{dx}=\frac{(\frac{y}{x})^2\cdot e^{\frac{y}{x}}}{\frac{y}{x}\cdot e^{\frac{y}{x}}+1}[/m]
[m]y‘=φ(\frac{y}{x})[/m]
[m]φ(\frac{y}{x})=\frac{(\frac{y}{x})^2\cdot e^{\frac{y}{x}}}{\frac{y}{x}\cdot e^{\frac{y}{x}}+1}[/m]
[m]u+xu`=\frac{u^2\cdot e^{u}}{u\cdot e^{u}+1}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]xu`=\frac{u^2\cdot e^{u}}{u\cdot e^{u}+1}-u[/m]
[m]x\frac{du}{dx}=\frac{u^2\cdot e^{u}-u^2e^{u}-u}{u\cdot e^{u}+1}[/m]
[m]x\frac{du}{dx}=\frac{-u}{u\cdot e^{u}+1}[/m]
[m]\frac{(u\cdot e^{u}+1)du}{u}=-\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{(u\cdot e^{u}+1)du}{u}=- ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m] ∫ (e^{u}+\frac{1}{u})du=- ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m]e^{u}+ln|u|=lnC-ln|x|[/m]
[m]e^{\frac{y}{x}}+ln|\frac{y}{x}|=lnC-ln|x|[/m]
[m]e^{\frac{y}{x}}+ln|y|=lnC[/m]