Задача 57789 Помогите пожалуйста, срочно нужна...
Условие
Решение
[m]P(x;y)dx=Q(x;y)dy[/m] называется однородным, если
[m]P(x;y)[/m] и [m]Q(x;y)[/m] [b] одной [/b]степени однородности.
Что это означает:
если вместо[m] x [/m] подставить [m] λ x[/m], а вместо[m] y [/m] подставить [m] λ y[/m],
то [m]P( λ x; λ y)= λ^{k}\cdot P(x;y) [/m] и [m]Q( λ x; λ y)= λ^2\cdot 2xy= λ^{k}\cdot Q(x;y) [/m]
[m](x^2+y^2)dx=2xydy[/m]
[m]P(x;y)=x^2+y^2[/m] и [m]Q(x;y)=2xy[/m] [b] второй [/b]степени однородности, т.е
[m]P( λ x; λ y)= (λ x)^2+ (λ y)^2= λ^2*(x^2+y^2)= λ^2\cdot P(x;y) [/m]
[m]Q( λ x; λ y)=2\cdot ( λ x)\cdot ( λ y)= λ^2\cdot 2xy= λ^2\cdot Q(x;y) [/m]
Решаются подстановкой [m]\frac{y}{x}=u[/m] ⇒ [m]y=x\cdot u[/m]
[m]dy=xdu+udx[/m]
[m](x^2+(x\cdot u)^2)dx=2xy\cdot (xdu+udx)[/m]
[m](x^2+(x\cdot u)^2)dx=2x\cdot(x\cdot u) (xdu+udx)[/m]
[m](x^2+x^2\cdot u^2)dx=2x^3\cdot udu+2x^2\cdot u^2 dx[/m]
[m](x^2-x^2\cdot u^2)dx=2x^3\cdot u du[/m]- уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем:
[m]x^2(1-u^2)dx=2x^3\cdot u du[/m]
[m]\frac{dx}{x}=\frac{2udu}{1-u^2}[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{dx}{x}= ∫ \frac{2udu}{1-u^2}[/m]
[m]ln|x|=-ln|1-u^2|+lnC[/m]
[m]u=\frac{y}{x}[/m]
[m]ln|x|=-ln|1-(\frac{y}{x})^2|+lnC[/m]
[m]ln|x|+ln|\frac{x^2-y^2}{x^2}|=lnC[/m]
[m]ln|x|+ln|x^2-y^2}|-ln|x^2|=lnC[/m]
[m]ln|x^2-y^2}|-ln|x|=lnC[/m]
[m]ln|x^2-y^2}|=lnC+ln|x|[/m] ⇒ [m]ln|x^2-y^2}|=lnC\cdot |x|[/m]
[m]x^2-y^2=Cx[/m]