Задача 57744 ...
Условие
Решение
По теореме синусов:
[blue][m]\frac{AC}{sin105 ° }=\frac{BC}{sin45 ° }[/m][/blue]
[m]sin105 ° =sin(45 ° +60 ° )=sin45 ° cos60 ° +cos45 ° sin60 ° =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})[/m]
[m]BC=\frac{AC\cdot sin45 ° }{sin105 ° }=\frac{5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} }{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) }=\frac{10(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}= 5 (\sqrt{3}-1)[/m]
[blue][m]\frac{AB}{sin30 ° }=\frac{BC}{sin45 ° }[/m][/blue]
[m]AB=\frac{5\cdot (\sqrt{3}-1)}{2 sin45 °}=\frac{5\cdot (\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}[/m]
2)
По теореме синусов:
[blue][m]\frac{AC}{sin ∠B }=\frac{AB}{sin30 ° }[/m][/blue] ⇒
[m]\frac{8}{sin ∠B }=\frac{6}{sin30 ° }[/m]
[m]sin ∠ B=\frac{2}{3}[/m] ⇒
[m]cos ∠ B=\sqrt(1-(\frac{2}{3})^2)=\frac{\sqrt{5}}{3}[/m]
По теореме косинусов:
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ B
Найдем BC из квадратного уравнения
ИЛИ
Найдем sin ∠ A=sin( ° 180-∠ B-∠ C)=sin(∠ B+∠ C)=sin∠ B*cos∠ C+cos∠ B*sin∠ C=[m]\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{2}[/m]
и тогда найдем BC по теореме синусов.
3.
По теореме косинусов:
2^2=3^2+4^2-2*3*4*cos ∠ B
cos ∠ B=7/8
4^2=2^2+3^2-2*2*3*cos ∠A
cos ∠A=-5/12
3^2=2^2+4^2-2*2*4*cos ∠ C
cos ∠ C=3/16
4.
По теореме косинусов:
BC^2=8^2+12^2-2*8*12*cos 60 ° =64+144-96=112
BC^2=112
BC=sqrt(112)
По теореме синусов находим остальные углы