Задача 57701 №5 - Решить уравнение с разделяющимися...
Условие
Решение
[m]\frac{dy}{dx}=\frac{2x+1}{ln(3y)}[/m]
разделяем переменные:
[m](2x+1)dx=ln(3y)dy[/m]
интегрируем:
[m]\int{(2x+1)dx=\int{ln(3y)dy}}[/m]
решаем интегралы в левой и в правой части
[m]\int{(2x+1)}dx=\int{2xdx}+\int{dx}=2\int{xdx}+\int{dx}=\frac{2x^2}{2}+x+c=x^2+x+c[/m]
[m]\int{ln(3y)dy}=\int{(ln(3)+ln(y))dy}=\int{ln(3)dy}+\int{ln(y)dy}[/m]
решаем:
1)[m]\int{ln(3)dy}=ln(3)\int{dy}=yln(3)+c[/m]
2)[m]\int{ln(y)dy}[/m]
интегрируем по частям
u=ln(y)
du=[m]\frac{dy}{y}[/m]
v=[m]\int{dy}=y[/m]
yln(y)-[m]\int{\frac{y*dy}{y}}=yln(y)-\int{dy}=yln(y)-y+c[/m]
итого:
[m]\int{ln(3)dy}+\int{ln(y)dy}=yln(3)+yln(y)-y+c[/m]
по итогу общий интеграл диффура имеет вид:
x^2+x=yln(3)+yln(y)-y+c