Задача 57700 №4 - Решить уравнение с разделяющимися...
Условие
Решение
[m] \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx=-\frac{dy}{4siny-5}[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx=- ∫ \frac{dy}{4siny-5}[/m]
Вычисляем каждый интеграл отдельно.
1)
[m] ∫ \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx=[/m] тригонометрическая подстановка:
[m]x=sint;[/m]
[m]dx=(sint)`dt=cost dt[/m]
[m] = ∫ \frac{\sqrt{1-sin^2t}}{sin^2t}cost dt= ∫ \frac{cos^2t}{sin^2t} dt=∫ \frac{1-sin^2t}{sin^2t} dt=[/m]
[m]= ∫ (1-\frac{1}{sin^2t})dt=t+ctgt+C_{1}=[/m]
задача: [m]x=sint;[/m]
найти: [m]t; ctgt[/m]
⇒ [m]t=arcsinx[/m]
[m]cost=\sqrt{1-sin^2t}=\sqrt{1-x^2}[/m]
[m]ctgt=\frac{cost}{sint}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}[/m]
[m] ∫ \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx=arcsinx +\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}+C_{1}[/m]
2)
[m]∫ \frac{dy}{4siny-5}[/m] = универсальная подстановка ( см. скрин)
[m]tg\frac{y}{2}=t[/m] ⇒ [m]\frac{y}{2}=arc tgt[/m] ⇒ [m]y=2arc tgt[/m]
[m]dy=(2atctgt)1dt=\frac{2}{1+t^2}dt[/m]
[m]4siny-5=\frac{4\cdot 2t}{1+t^2}-5=\frac{8t-5-5t^2}{1+t^2}[/m]
Тогда
[m]∫ \frac{dy}{4siny-5}=- ∫\frac{2}{5t^2-8t+5} dt=-\frac{2}{5} ∫\frac{dt}{(t-\frac{4}{5})^2+\frac{9}{25}}= [/m]
[m]=-\frac{2}{5} \frac{1}{\frac{3}{5}}arctg\frac{t-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}+C_{2}[/m]
[m]=-\frac{2}{3}arctg\frac{5t-4}{3}+C_{2}[/m], где[m] t=tg\frac{y}{2}[/m]
Итак,
[m] ∫ \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx=- ∫ \frac{dy}{4siny-5}[/m] ⇒
[m]arcsinx +\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}+C=-\frac{2}{3}arctg\frac{5tg\frac{y}{2}-4}{3}[/m]- О т в е т.
------
