Задача 57662 Решите уравнение???????????????????? 23...
Условие
Решение
[m]\frac{\sqrt{3}cos3x}{2}+\frac{sin3x}{2}=sinx[/m] (1)
подгоним левую часть выражения под формулу: sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) (2)
[m]\frac{\sqrt{3}}{2}=sin(\frac{π}{3})[/m]
[m]\frac{1}{2}=cos(\frac{π}{3})[/m]
получаем
[m]sin(\frac{π}{3})cos3x+cos(\frac{π}{3})sin3x=sinx[/m]
согласно формуле (2) левая часть упрощается до
[m]sin(\frac{π}{3}+3x)=sinx[/m]
[m]sin(\frac{π}{3}+3x)-sinx=0[/m] (3)
согласно формуле sin(a)-sin(b)=2cos([m]\frac{a+b}{2}[/m])sin([m]\frac{a-b}{2}[/m])
следовательно выражение (3) можно записать как:
2cos([m]\frac{\frac{π}{3}+3x+x}{2}[/m])sin([m]\frac{\frac{π}{3}+3x-x}{2}[/m])=0
2cos([m]\frac{\frac{π}{3}+4x}{2}[/m])sin([m]\frac{\frac{π}{3}+2x}{2}[/m])=0
2cos([m]\frac{\frac{π+12x}{3}}{2}[/m])sin([m]\frac{\frac{π+6x}{3}}{2}[/m])=0
2cos([m]\frac{π+12x}{6}[/m])sin([m]\frac{π+6x}{6}[/m])=0
разделим левую и правую части уравнения на 2, получим:
cos([m]\frac{π+12x}{6}[/m])sin([m]\frac{π+6x}{6}[/m])=0
произведение равно 0 когда один из множителей равен 0, следовательно:
cos([m]\frac{π+12x}{6}[/m])=0 (4)
sin([m]\frac{π+6x}{6}[/m])=0 (5)
[red](4):[/red]
cos([m]\frac{π+12x}{6}[/m])=0
cos(t) будет равен 0 при значении t=[m]\frac{π}{2}+πk[/m]
следовательно, в нашем случае:
[m]\frac{π+12x}{6}[/m]=[m]\frac{π}{2}+πk[/m]
домножим левую и правую части на 6:
π+12x=3π+6πk
12x=3π-π+6πk
12x=2π+6πk
x=[m]\frac{π}{6}+\frac{πk}{2}[/m]
[red](5):[/red]
sin([m]\frac{π+6x}{6}[/m])=0
sin(t) будет равен 0 при значении t=πk
следовательно, в нашем случае:
[m]\frac{π+6x}{6}=πk[/m]
домножим левую и правую части на 6:
π+6x=6πk
6x=-π+6πk
x=-[m]\frac{π}{6}[/m]+πk
Итого:
x_(1)=[m]\frac{π}{6}+\frac{πk}{2}[/m]
x_(2)=-[m]\frac{π}{6}[/m]+πk