Задача 57598 Решить неравенство : 1)(...
Условие
Решение
Методом интервалов:
находим нули числителя:
x=-6 - нуль числителя. Отмечаем закрашенной точкой (на рис. квадратные скобки). Неравенство нестрогое
находим нули знаменателя
(2x-3)=0 ⇒ x=1,5 и x=-1 - нули знаменателя. Незакрашенной (на рис. круглые). Знаменатель не может равняться 0
Знаки:
___ [-6] _____ (-1) _____ (1,5) ___ [red]+[/red]_
теперь знаки чередуем
_[green]-[/green]__ [-6] ___+__ (-1) __ [green]-[/green]___ (1,5) ___ [red]+[/red]_
О т в е т. (- ∞ ;-6] U (-1;1,5)
2)
2)( 3x^2–x^3)/(–x^2+3x–2) ≥ 0;
Методом интервалов:
находим нули числителя:
3x^2-x^3=0
x^2*(3-x)=0
x^2=0 или 3-x=0
x=0 и x=3 - нуль числителя. Отмечаем закрашенными точками (на рис. квадратные скобки). Неравенство нестрогое
находим нули знаменателя
–x^2+3x–2=0
x^2-3x+2=0
D=9-8=1
x=1 и x=2 - нули знаменателя. Незакрашенные точки ( на рис. круглые скобки). Знаменатель не может равняться 0
Записываем неравенство в виде:
x^2*(x-3)/(x-1)(x+2) ≥ 0;
( все множители вида (x-a))
Если имеется множитель в (x-a)^2, то знак не меняется ( сравните с параболой y=(x-a)^2. Она всегда выше оси Ох)
Знаки:
_-__ [0] __-___ (1) __+___ (2) __-_ [3] ____ [red]+[/red]_
О т в е т.[b] {0}U(1;2) U [3;+ ∞ ][/b]
3)|x–1|–|x–2| ≥ 0;
[b]Подмодульные[/b] выражения обращаются в нуль в точках х=1; х=2
При переходе через точку х=1 первое выражение меняет знак, а при переходе через х=2 второе выражение меняет знак
Точки х=1 и х=2 делят точку на три промежутка.
Раскрываем модули на каждом из них
на (- ∞ ;-1]
|x-1|=-x+1
|x-2|=-x+2
тогда неравенство принимает вид:
-x+1–(-x+2) ≥ 0;
-1 ≥ 0- неверно
на (- ∞ ;-1] неравенство не имеет решений.
на (1;2]
|x-1|=x-1
|x-2|=-x+2
тогда неравенство принимает вид:
x-1–(-x+2) ≥ 0;
2x-3 ≥ 0;
x≥3/2
на (1;2] решение [b][3/2; 2][/b]
на (2;+ ∞ )
|x-1|=x-1
|x-2|=x-2
тогда неравенство принимает вид:
x-1–(x-2) ≥ 0;
1 ≥ 0 - верно
на (2;+ ∞ ) решение [b](2;+ ∞ )[/b]
Объединяем найденные решения [b][3/2; 2][/b]U[b](2;+ ∞ )[/b]=[b][3/2;+ ∞ )[/b]
4) x^2+(36)/(x–2)^2 ≤ 4x+9;
(x-2)^2=x^2-4x+4
Значит переносим 4x влево и +4 к обеим частям неравенства
x^2-4х+[b]4[/b]+(36)/(x–2)^2 ≤ 9+[b]4[/b];
Так как
((x-2)+(6/(x-2))^2=(x-2)^2+2*(x-2)*(6/(x-2)+(36/(x-2)^2
((x-2)+(6/(x-2))^2=(x-2)^2+[b]12[/b]+(36/(x-2)^2
то представим уравнение в виде:
(x-2)^2+12 + (36)/(x–2)^2 ≤25
((x-2)+(6/(x-2)))^2 ≤ 25
Теперь нет проблем
((x-2)+(6/(x-2)))^2-25 ≤ 0
((x-2)+(6/(x-2))-5)*((x-2)+(6/(x-2))+5)≤ 0
(x^2-9x+20)*(x^2+x)/(x-2)^2≤ 0
(x-4)*(x-5)*x*(x+1)/(x-2)^2≤ 0
Методом интервалов:
___+__ [-1] __-__[0] ___+__ (2) __+__ [4] ___-__ [5]__+___
О т в е т. [b][-1;0]U[4;5][/b]
5) x^(log_(1/(sqrt(3))x)>(1/9)
ОДЗ: x >0; x ≠ 1
Логарифмируем по основанию 3:
log_(3) x^(log_(1/(sqrt(3))x)>log_(3)(1/9)
Применяем свойство логарифма степени:
[b]([/b]log_(1/sqrt(3))x[b])[/b] * log_(3)x >-2
[b]([/b]log_(3^(-1/2))x[b])[/b] * log_(3)x >-2
[b]([/b](1/(-1/2))*log_(3)x[b])[/b] * log_(3)x >-2
-2log_(3)x * log_(3)x >-2
(log_(3)x)^2 < 1 ⇒ (log_(3)x)^2-1 < 0 ⇒
(log_(3)x-1)*(log_(3)x+1) <0
-1 <log_(3)x < 1
log_(3)(1/3) < log_(3)x < log_(3)3
(1/3) < x < 3
C учетом ОДЗ:
О т в е т. (1/3;1) U(1;3)