Задача 57565 Составить уравнение плоскости O...

601660e65d2ce76e3c5696af

31.01.2021 10:49:20

Составить уравнение плоскости O проходящей через точку A(3;-2;5) и образующей угол П/6 с плоскостью I, проходящей через точки B(0;0;1) С(0;5;0) D(1;0;0). Плоскость содержит прямую AB

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.01.2021 11:01:56

★

Задачу не решишь подставив координаты точек в какие -нибудь уравнения.

Эта задача включает в себя несколько стандартных задач

План решения такой:
1) Составим уравнение пл. BCD как уравнение плоскости, проходящей через три точки.
( см. скрины 1 и 2)

vector{n_( пл.BCD)}={-5;-1;-5}

2)

vector {AA_{1}} коллинеарен вектору vector{n_( пл.BCD)}={-5;-1;-5}
⇒
A_(1)B- проекция точки А на плоскость BCD

Находим координаты точки А_(1) - проекции точки А на плоскость BCD.

A_(1) - принадлежит пл. BCD. Значит ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости

-5x_(A_(1))-y_(A_(1))-5z_(A_(1))+5=0

vec{AA_(1)}=(x_(A_(1))-3;y _(A_(1))-(-2); z_(A_(1))-5) коллинеарен вектору vector{n_( пл.BCD)}={-5;-1;-5}

[m] \frac{x_{A_{1}}-3}{-5}= \frac{y_{A_{1}}+2}{-5}= \frac{z_{A_{1}}-5}{-5}[/m] Обозначим через k

[m] x_{A_{1}}=-5k+3[/m]
[m] y_{A_{1}}=-k-2[/m]
[m] z_{A_{1}}=-5k+5[/m]

и подставляем в уравнение плоскости BCD^

-5(5k+3)-(-k-2)-5(-5k+5)+5=0

k=11/17

Теперь найдем координаты точки А_(1):
[m] x_{A_{1}}=-5\cdot \frac{11}{17}+3=-\frac{4}{17}[/m]
[m] y_{A_{1}}=-\frac{11}{17}-2=-\frac{45}{17}[/m]
[m] z_{A_{1}}=-5\cdot \frac{11}{17}+5=\frac{30}{17}[/m]


3)

Точка P - принадлежит прямой АВ. См уравнение прямой на скрине 3
Значит координаты точки:

P(-3t+3;2t-2;-4t+5)

vector{A_(1)P}=[m](-3t+3-(-\frac{4}{17}); 2t-2-(-\frac{45}{17}); -4t+5-\frac{30}{17})[/m]

vector{A_(1)P} ⊥ vector{AB} ⇒ Cкалярное произведение векторов равно 0.

Это позволяет составить уравнение:

[m]-5\cdot (-3t+3-(-\frac{4}{17}))\cdot( 2t-2-(-\frac{45}{17}))-5\cdot (-4t+5-\frac{30}{17})=0[/m]

t=

Найдем координаты точки Р

vector{A_(1)P} - направляющий вектор плоскости О

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку А с направляющим вектором.