Задача 57549 Докажите что все корни многочлена...

5ffed20d960c3c35933dce28

30.01.2021 07:06:44

Докажите что все корни многочлена к(х)=x^2-7x-1 являются корнями многочлена p(x)=x^5-7x^4-5x^2-15x-2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.01.2021 11:00:41

★

Чтобы найти корни многочлена разложим его на множители.

Для этого применяем "искусственный прием"разложения на множители

( т. е прибавим одно и то же выражение и вычтем
или представим одночлен как сумму или разность одночленов)

например, так:

x^5-7x^4[u]-5x^2[/u]-15x-2=x^5-7x^4[b]-x^3+x^3[/b][u]-7x^2+2x^2[/u]-x-14x-2=

=(x^5-7x^4-x^3)+(x^2-7x^2-x)+(2x^2-14x-2)=

=[b]x^3[/b]*(x^2-7x-1)+[b]x[/b]*(x^2-7x-1)+[b]2[/b]*(x^2-7x-1)=

=(x^2-7x-1)*(x^3+x+2)=

=(x^2-7x-1)*(x^3[u]+1[/u]+x[u]+1[/u])=

=(x^2-7x-1)*[b]([/b](x+1)*(x^2-x+1)+(x+1)[b])[/b]=

=(x^2-7x-1)*(x+1)*(x^2-x+2)

Корни многочлена находим из уравнений:

x^2-7x-1=0 ⇒ D > 0 уравнение имеет два корня.

x+1=0 ⇒ x=-1

x^2-x+1=0 - уравнение не имеет корней

Вывод

Многочлен [m] x^5-7x^4-5x^2-15x-2 х[/m] имеет три корня, это корни квадратного трехчлена [m]x^2-7x-1[/m] и корень [m]x=-1[/m]

Поэтому [red]корни квадратного трехчлена[/red] [m]x^2-7x-1[/m] являются [red]корнями многочлена[/red] [m] x^5-7x^4-5x^2-15x-2 х[/m]

Обратное, не верно, потому что корень многочлена [m] x^5-7x^4-5x^2-15x-2 х[/m]

[m]x=-1[/m] не является корнем квадратного трехчлена [m]x^2-7x-1[/m]