Задача 57526 Дано дифференциальное уравнение...

5f7769413c2bbb460a93108f

29.01.2021 12:38:40

Дано дифференциальное уравнение x^2*y'+x*y=1

1) Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию y(1)=2.

2) На каком интервале рассчитанный "y" является решением дифференциального уравнения?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.01.2021 14:07:23

★

Делим на [m]x^2[/m]

[m]y`+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^2}[/m]

Это линейное уравнение первого порядка.

Решаю методом Бернулли.

[m]y=u\cdot v[/m]
[m]y`=u`\cdot v+u\cdot v`[/m]

[m]u`\cdot v+u\cdot v`+\frac{1}{x}u\cdot v=\frac{1}{x^2}[/m]

[m]u`\cdot v+u\cdot (v`+\frac{1}{x}\cdot v)=\frac{1}{x^2}[/m]

Функции u и v - произвольные, поэтому будем считать, что они удовлетворяют
следующим условиям:


[m]\left\{\begin {matrix}v`+\frac{1}{x}\cdot v=0\\u`\cdot v+u\cdot 0=\frac{1}{x^2}\end {matrix}\right.[/m]

Первое уравнение с разделяющимися переменными.

Из него

[m]\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{x}[/m] ⇒ [m]\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}[/m]

⇒ [m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{dx}{x}[/m] ⇒ [m]ln|v|=-ln|x|[/m] ⇒ [m]ln|v|=ln|x|^{-1}[/m] ⇒

[m]v=\frac{1}{x}[/m]

Второе уравнение также с разделяющимися переменными.

[m]u`\cdot v=\frac{1}{x^2}[/m]

[m]u`\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2}[/m]

[m]\frac{du}{xdx}=\frac{1}{x^2}[/m] ⇒ [m]du=\frac{dx}{x}[/m] ⇒ [m] ∫ du= ∫ \frac{dx}{x}[/m]

[m]u=lnx+C[/m]


[m]y=(lnx+C)\cdot \frac{1}{x}[/m]

[m]y=\frac{lnx+C}{x}[/m] - общее решение уравнения

[m]y(1)=2[/m]

[m]2=\frac{ln1+C}{1}[/m] ⇒ [m]C=2[/m]

[m]y=\frac{lnx+2}{x}[/m] - частное решение уравнения