Задача 57524 исследуйте функцию y=f(x) на...
Условие
Решение
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
Функция непрерывна на всей области определения как частное непрерывных функций.
б)Область определения (- ∞ ;-2)U(2;+ ∞ )
Функция непрерывна на всей области определения как частное непрерывных функций.
Исследуем функцию на непрерывность в точке x=-2
Находим предел слева:
lim_(x → –2–0)f(x)=lim_(x →–2 –0)[m]\frac{1}{x^2+4x+4}[/m]=+ ∞
Находим предел справа:
lim_(x → –2+0)f(x)=lim_(x →–2 +0)[m]\frac{1}{x^2+4x+4}[/m]=+ ∞
Так как оба односторонних предела - бесконечные, то
x=-2 -[b]точка разрыва второго рода.[/b]
в)
Область определения (- ∞ ;-1)U(-1;0) U(0;+ ∞ )
Функция непрерывна на всей области определения как частное непрерывных функций.
Исследуем функцию на непрерывность в точках x=-1 и х=0
Находим предел слева:
lim_(x →-1 –0)f(x)=lim_(x → -1–0)[m]\frac{4x}{x^2+x}[/m]=- ∞
Находим предел справа:
lim_(x →-1 +0)f(x)=lim_(x → -1+0)[m]\frac{4x}{x^2+x}[/m]= +∞
Так как оба односторонних предела - бесконечные, то
x=-1 -[b]точка разрыва второго рода.[/b]
Находим предел слева:
lim_(x → –0)f(x)=lim_(x → –0)[m]\frac{4x}{x^2+x}[/m]=lim_(x → –0)[m]\frac{4}{x+1}=4[/m]
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)[m]\frac{4x}{x^2+x}[/m]=lim_(x → –0)[m]\frac{4}{x+1}=4[/m]
х=4 – [b][i]точка устранимого разрыва[/i][/b]
предел слева = пределу справа
Но функция не определена в точке x=0
г)
1-cosx ≠ 0 ⇒
cosx ≠ 1 ⇒
x ≠ 2πn, n ∈ [b]Z[/b]
Функция непрерывна во всех точках, кроме точек х= 2πn, n ∈ [b]Z[/b] как частное непрерывных функций.
Исследуем функцию на непрерывность в точках x= 2πn, n ∈ [b]Z[/b]
Так как оба односторонних предела - бесконечные, то
x= 2πn, n ∈ [b]Z[/b] -[b]точки разрыва второго рода.[/b]