Задача 57523 Найти проекцию точки А (3;2;1) на прямую...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x-2y+z=4\\2x+y-z=0\end {matrix}\right.[/m]
А(3;2;1)
Найти координаты точки С - проекции точки А на прямую L ( см. рис.)
Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.
Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:
[m]\left\{\begin {matrix}-2y+z=4\\y-z=0\end {matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin {matrix}-2y+z=4\\y=z\end {matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin {matrix}-2y+y=4\\y=z\end {matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin {matrix}y=-4\\z=-4\end {matrix}\right.[/m];
[red][m]P(0;-4; -4)[/m][/red]
Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0
Тогда система принимает вид:
[m]\left\{\begin {matrix}x+z=4\\2x-z=0\end {matrix}\right.[/m];[m]\left\{\begin {matrix}x+2x=4\\z=2x\end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{4}{3}\\z=\frac{8}{3}\end {matrix}\right.[/m]
[red][m]K(\frac{4}{3};0;\frac{8}{3} )[/m][/red]
Составим уравнение прямой L, как прямой, проходящей через две точки P и К:
[m]\frac{x-0}{\frac{4}{3}-0}=\frac{y-(-4)}{0-(-4)}=\frac{z-(-4)}{\frac{8}{3}-(-4)}[/m]
[m]\frac{x}{\frac{4}{3}}=\frac{y+4}{4}=\frac{z+4}{\frac{20}{3}}[/m]
Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy А перпендикулярно прямой L
Тогда направляющий вектор прямой L становится нормальным вектором искомой плоскости.
[m]\frac{4}{3}(x-3)+4(y-2)+\frac{20}{3}(z-1)=0[/m] - уравнение плоскости, проходящей через
точку А с заданным нормальным вектором
Упрощаем
[m]\frac{4}{3}x+4y+\frac{20}{3}z-\frac{56}{3}=0[/m]
Координаты точки С - координаты точки пересечения плоскости и прямой L
Для этого уравнение прямой L записываем в параметрическом виде:
[m]\frac{x}{\frac{4}{3}}=\frac{y+4}{4}=\frac{z+4}{\frac{20}{3}}=t[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{4}{3}t\\y=4t-4\\z=\frac{20}{3}t-4\end {matrix}\right.[/m]
Подставляем в уравнение плоскости:
[m]\frac{4}{3}\cdot (\frac{4}{3}t)+4\cdot (4t-4)+\frac{20}{3}\cdot (\frac{20}{3}t-4)-\frac{56}{3}=0[/m]
[m]t=\frac{69}{70}[/m]
Тогда координаты точки С:
[m]\left\{\begin {matrix}x_{C}=\frac{4}{3}\cdot\frac{69}{70} \\y_{C}=4\frac{69}{70}-4\\z_{C}=\frac{20}{3}\frac{69}{70}-4\end {matrix}\right.[/m] См ответ на втором скрине
Все решения
