Задача 57483 Найти общее решение дифференциального...

5f7769413c2bbb460a93108f

28.01.2021 13:38:53

Найти общее решение дифференциального уравнения y'=e^(x+y) методом разделения переменных. Затем найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.01.2021 13:45:14

★

[m]y`=\frac{dy}{dx}[/m]

[m]e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}[/m]

Получаем уравнение:
[m]\frac{dy}{dx}=e^{x}\cdot e^{y}[/m]

Это уравнение - уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{dy}{e^{y}}=e^{x}dx[/m]

Интегрируем:

[m] ∫ \frac{dy}{e^{y}}= ∫ e^{x}dx[/m]

[m] ∫ e^{-y}dy= ∫ e^{x}dx[/m]

[m]-e^{y}=e^{x}+C[/m] - общее решение.


При x=0; y=0

[m]-e^{0}=e^{0}+C[/m]

[m] C=-2[/m]


[m]-e^{y}=e^{x}+2[/m] - частное решение.

Кривая, проходящая через точку (0;0)

см ее график на рис.