Задача 57465 ...
Условие
2( tgx-ctgx)=√3•(tg²x+ctg²x)-2√3
Решение
[m]tgx-ctgx=t[/m]
Возводим в квадрат:
[m]tg^2x-2+ctg^2x=t^2[/m] ⇒ [m] tg^2x+ctg^2x=t^2+2[/m]
Уравнение принимает вид:
[m]2t=√3•(t^2+2)–2√3[/m]
[m]2t=√3•t^2+2√3–2√3[/m]
[m]2t=√3•t^2[/m]
[m]t=0[/m] или [m]t=\frac{2}{\sqrt{3}}[/m]
Обратный переход:
[m]tgx-ctgx=0[/m] ⇒ [m]x=\frac{π}{4}+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]
или
[m]tgx-ctgx=\frac{2}{\sqrt{3}}[/m] ⇒[m]\sqrt{3}(tgx)^2-2tgx-\sqrt{3}=0[/m]
[m] D=4+12=16;[/m]
[m]tgx=\sqrt{3}[/m]⇒ [m]x=\frac{π}{3}+πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]tgx=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/m]⇒ [m]x=-\frac{π}{6}+πm, n ∈ [/m][b]Z[/b]
О т в е т. [m]-\frac{π}{6}+πm, n ∈ [/m][b]Z[/b]; [m]\frac{π}{4}+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]; [m]\frac{π}{3}+πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]