Задача 57457 ...
Условие
Решение
{x-1 >0 ⇒ x> 1
{x^2+(1/(x-1)) >0 верно при всех ограничениях на х первого неравенства
{(x^2+x-1)/2 >0 ⇒ x^2+x-1>0 ⇒ x < (-1-sqrt(5))/2 или x > (-1+sqrt(5))/2
(-1+sqrt(5))/2 < 1
Поэтому [red]ОДЗ: x > 1[/red]
[m]log_{2}(x-1)+log_{2}(x^2+\frac{1}{x-1})≤2log_{2}\frac{x^2+x-1}{2}[/m]
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
[m]log_{2}(x-1)+log_{2}(x^2+\frac{1}{x-1})=log_{2}(x-1)\cdot (x^2+\frac{1}{x-1})[/m]
применим к логарифму справа свойство логарифма степени
[m]2log_{2}\frac{x^2+x-1}{2}=log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]
[m]log_{2}(x-1)\cdot (x^2+\frac{1}{x-1}) ≤log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]
Воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции c основанием 2
Получим неравенство:
[m](x-1)\cdot (x^2+\frac{1}{x-1}) ≤(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]
При x из ОДЗ верно, что x-1 ≠ 0,
поэтому
[m]x^2(x-1)+1 ≤(\frac{x^2+(x-1)}{2})^2[/m]
[m]x^2(x-1)+1 ≤\frac{(x^2)^2+2x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}[/m]
[m]x^2(x-1)+1 ≤\frac{(x^2)^2}{4}+\frac{x^2(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}[/m]
[m]1 ≤\frac{(x^2)^2}{4}-\frac{x^2(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}[/m]
[m]1 ≤\frac{(x^2-(x-1))^2}{4}[/m]
[m]\frac{(x^2-(x-1))^2}{4}-1 ≥0 [/m]
[m](\frac{x^2-(x-1)}{2}-1) (\frac{x^2-(x-1)}{2}+1)≥0 [/m]
[m](x^2-x+1-2)(x^2-x+1+2) ≥ 0[/m]
[m](x^2-x-1)(x^2-x+3) ≥ 0[/m]
C учетом ОДЗ:
О т в е т. [m][\frac{1+\sqrt{5}}{2}; + ∞ )[/m]