Задача 57452 Доказать, что y(x) =x*e^(r*x) является...

5f7769413c2bbb460a93108f

27.01.2021 17:12:54

Доказать, что y(x) =x*e^(r*x) является одним из решений дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
y''(x) - 2*r*y'(x)+r^2*y(x)=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.01.2021 17:21:32

★

y`(x)=(x*e^(rx))`=x`*e^(rx)+x*(e^(rx))`=e^(rx)+x*e^(rx)*(rx)`=e^(rx)+x*e^(rx)*(r)=e^(rx)*(1+xr)

y``(x)=(e^(rx))`*(1+xr)+e^(rx)*(1+xr)`=(e^(rx))*(rx)`*(1+xr)+e^(rx)*(0+r)=

=(e^(rx))*(r+xr^2+r)=(e^(rx))*(2r+xr^2)

Подставляем в уравнение:

(e^(rx))*(2r+xr^2)-2*r*e^(rx)*(1+xr)+r^2*x*e^(rx)=0

e^(rx)*(2r+xr^2-2r-2r^2x+r^2x)=0

e^(rx)*0=0 - верно

0=0