Задача 57436 Найти значение выражения...
Условие
Решение
[m]cos2 α =cos^2 α -sin^2 α [/m]
[m]sin2 α =2sin α cos α [/m]
Тогда
[m]1+cos2 α -sin2 α =sin^2 α +cos^2 α +cos^2 α -sin^2 α -2sin α cos α =[/m]
[m]=2cos^2 α -2sin α cos α =2cos α (cos α -sin α )[/m]
По формулам приведения:
[m]sin(2π- α )=-sin α [/m]
[m]\frac{1+cos2 α -sin2 α }{1-sin(2π- α )}=\frac{2cos α (cos α -sin α )}{cos α -(-sin α )}=\frac{2cos α (cos α -sin α )}{cos α +sin α}[/m]
По идее хорошо было бы, если бы можно было сократить, но не сокращается.
Попробуем получить значения остальных функций, используя данные:
[m]sin α=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Тогда
[m]1=sin^2 α +cos^2 α[/m] ⇒[m] cos^2 α=1-sin^2 α=1-(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}[/m]
⇒
[m]cos α=\pm\frac{1}{2}[/m]
Нет ограничений на угол,значит
[m]cos α=-\frac{1}{2}[/m] или [m]cos α=\frac{1}{2}[/m]
Решаем две задачи
1)
[m]cos α=-\frac{1}{2}[/m]
[m]\frac{1+cos2 α -sin2 α }{1-sin(2π- α )}=\frac{2cos α (cos α -sin α )}{cos α +sin α}=\frac{2\cdot (-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2} -(-\frac{\sqrt{3}}{2} )}{(-\frac{1}{2} +(-\frac{\sqrt{3}}{2} )}=\frac{-1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}[/m]
2)
[m]cos α=\frac{1}{2}[/m]
[m]\frac{1+cos2 α -sin2 α }{1-sin(2π- α )}=\frac{2cos α (cos α -sin α )}{cos α +sin α}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2} -(-\frac{\sqrt{3}}{2} )}{(\frac{1}{2} +(-\frac{\sqrt{3}}{2} )}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}[/m]
О т в е т. [m]\frac{-1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}};\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}[/m]
[b]Формулы приведения:[/b]