Задача 57425 4sinx+cosx=-1...
Условие
Решение
Все решения
[m]sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}[/m]
[m]cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}[/m]
Получаем уравнение:
[m]8sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=-1[/m]
Так как [m]1=cos^2\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2}[/m]
уравнение принимает вид:
[m]8sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=-cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}[/m]
или
[m]8sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2cos^2\frac{x}{2}=0[/m]
Раскладываем на множители левую часть:
[m]2cos\frac{x}{2}\cdot (4sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})=0[/m]
[m]cos\frac{x}{2}=0 [/m] или [m]4sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}=0[/m]
[m]\frac{x}{2}=\frac{π}{2}+πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] или [m]tg\frac{x}{2}=-\frac{1}{4}[/m]
[m]x=π+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] или [m]\frac{x}{2}=arctg(-\frac{1}{4})+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]x=π+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] или [m]x=-2arctg\frac{1}{4}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]
О т в е т. Две серии ответов:
[m]π+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] ; [m]-2arctg\frac{1}{4}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]
Второй способ. Метод вспомогательного угла.
См. скрин.
a=4
b=1
c=-1
a^2+b^2=4^2+1=17
Делим обе части уравнения на [m]\sqrt{17}[/m]
Уравнение принимает вид:
[m]\frac{4}{\sqrt{17}}\cdot sinx+\frac{1}{\sqrt{17}}\cdot cosx=-\frac{1}{\sqrt{17}}[/m]
Полагая
[m] \frac{4}{\sqrt{17}}=sin φ [/m]
[m] \frac{1}{\sqrt{17}}=cos φ [/m]
получаем, что уравнение можно представить в виде:
[m]sin φ\cdot sinx+cos φ\cdot cosx=-\frac{1}{\sqrt{17}}
Слева формула косинуса разности:
[m]cos(x- φ)=-\frac{1}{\sqrt{17}} [/m] - а это уже простейшее уравнение . Решаем по формуле:
[m] x- φ =\pm arccos(-\frac{1}{\sqrt{17}} ) + 2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
[m] x= φ \pm arccos(-\frac{1}{\sqrt{17}} ) + 2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] - это [b]ответ[/b]
где [m] φ=arccos \frac{1}{\sqrt{17}}[/m] или [m] φ=arcsin \frac{4}{\sqrt{17}}[/m]
